Autor Tema: Pregunta sobre razonamiento con enteros de Eisenstein

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15 Marzo, 2019, 09:43 am
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Fernando Moreno

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Hola, me gustaría conocer si este razonamiento con enteros de Eisenstein es válido:

Si:  \( x+\omega y \)  se factoriza como:  \( \epsilon\,(s+\omega t)^3 \) ;  para:  \( \epsilon \) ,  una de las unidades de  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  -y-  \( x,y \)  \( \wedge \)  \( s,t \)  enteros usuales y coprimos cada pareja.

Entonces:

\( x+\omega y=\epsilon\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\epsilon\,((3s^2t-3st^2)\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .

Y :  \( x=\epsilon\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\epsilon\,(3st(s-t)) \)   \( \Rightarrow \)   \( x^3=\pm (s^3+t^3-3st^2)^3 \)   \( \wedge \)   \( y^3=\pm (3st(s-t))^3 \) ;  pues:  \( \epsilon^3=\pm 1 \) .

Gracias de antemano. Un saludo,
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15 Marzo, 2019, 12:05 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Hola, me gustaría conocer si este razonamiento con enteros de Eisenstein es válido:

Si:  \( x+\omega y \)  se factoriza como:  \( \epsilon\,(s+\omega t)^3 \) ;  para:  \( \epsilon \) ,  una de las unidades de  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  -y-  \( x,y \)  \( \wedge \)  \( s,t \)  enteros usuales y coprimos cada pareja.

Entonces:

\( x+\omega y=\epsilon\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\epsilon\,((3s^2t-3st^2)\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .

Hasta aquí bien.
Citar
Y :  \( x=\epsilon\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\epsilon\,(3st(s-t)) \)   

Esto ya no es cierto. \( x,y \) son enteros, mientras que \( \epsilon \) es una unidad cualquiera del anillo. ¿Qué pasa si \( \epsilon = \omega \), por ejemplo? Entonces la igualdad deja de ser cierta.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Marzo, 2019, 12:19 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola,

Esto ya no es cierto. \( x,y \) son enteros, mientras que \( \epsilon \) es una unidad cualquiera del anillo. ¿Qué pasa si \( \epsilon = \omega \), por ejemplo? Entonces la igualdad deja de ser cierta.

Tenía duda sobre esto, sí. Muchas gracias por la aclaración.
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16 Marzo, 2019, 12:32 pm
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola, he intentado aplicar el lema de Kummer para averiguar qué clase de unidad  " \( \epsilon \) "  es la de arriba, pero no me ha salido. El lema de Kummer viene a decir que si una unidad pertenece á  \( \mathbb{Z[\zeta_p]^X} \) ,  para  \( p \)  un primo regular; y es congruente con un racional módulo \( p \) ;  entonces su exponente es  \( p \) .  Y  " \( 3 \) "  es un primo regular. Creo que debe poderse hacer, pero no sé cómo.

No obstante creo haber averiguado un camino, pero es más complicado. Es como sigue:

Parto de:  \( x+\omega y=\epsilon\,(s+\omega t)^3 \) .  Supongamos que  \( 3 \)  no divide á  \( x+\omega y \) ;  entonces no divide tampoco á  \( (s+\omega t)^3 \) .  Conocemos más de un lema que nos dice que por lo tanto:  \( (s+\omega t)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  Luego:  \( \epsilon\,(s+\omega t)^3\equiv{\pm\epsilon} \)  mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( x+\omega y\equiv{\pm\epsilon} \) mod \( 9 \) .  Como:  " \( \lambda=\omega-1 \) "  divide á  \( 9 \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ;  entonces:  \( x+\omega y\equiv{x+y}\equiv{\pm\epsilon} \)  mod \( \lambda \) .  Esto significa que:  \( x+y\pm\epsilon\equiv{0} \)  mod \( \lambda \) .

Hemos dicho que  \( \lambda=\omega-1 \) .  Como existen 6 unidades en los enteros de Eisenstein; sus posibles factores asociados serán:

\( (\omega-1)\cdot(+1)=\omega-1 \)

\( (\omega-1)\cdot(-1)=-\omega+1 \)

\( (\omega-1)\cdot(\omega)=\omega^2-\omega=-2\omega-1 \)

\( (\omega-1)\cdot(-\omega)=-\omega^2+\omega=2\omega+1 \)

\( (\omega-1)\cdot(\omega^2)=\omega^3-\omega^2=\omega+2 \)

\( (\omega-1)\cdot(-\omega^2)=-\omega^3+\omega^2=-\omega-2 \)

Ahora tenemos que:  \( x+y\pm\epsilon\equiv{0} \) mod \( \lambda \) .

Si:  \( \epsilon=\pm\omega \) ;  entonces:  \( (x+y)\pm\omega\equiv{0} \) mod \( \lambda \) .  Pero como  " \( x+y \) "  no puede ser ni 1, ni 2, ni 3;  entonces  \( \lambda \)  no puede dividir á:  \( (x+y)\pm\omega \) .

Y si:  \( \epsilon=\pm\omega^2 \) ;  entonces:  \( (x+y)\pm\omega^2\equiv{0} \) mod \( \lambda \) .  Y :

Caso 1 :  \( (x+y)+\omega^2=(x+y)-1-\omega \) .

Caso 2 :  \( (x+y)-\omega^2=(x+y)+1+\omega \) .

Y por las mismas razones que antes:  \( \lambda \)  no puede dividir á:  \( (x+y)\pm\omega^2 \) .  Luego  " \( \epsilon \) "  sólo puede ser  " \( \pm 1 \) " .

¿Puede ser? Espero no haberme equivocado mucho.


Un saludo,
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16 Marzo, 2019, 02:56 pm
Respuesta #4

geómetracat

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No me queda muy claro qué pretendes demostrar. Si lo que pretendes es ver que \( x+\omega y = \epsilon(s + \omega t)^3 \) con \( x,y \) coprimos, \( s,t \) coprimos y \( \epsilon \) una unidad implica que \( \epsilon =\pm 1 \), me parece que es falso.
Por ejemplo, \( (2-\omega)^3 = 1 - 18 \omega  \). Luego \( \omega(2-\omega)^3 = \omega (1 - 18 \omega)
= 18 + 19 \omega  \). Ahí tienes un contraejemplo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

16 Marzo, 2019, 05:56 pm
Respuesta #5

Fernando Moreno

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Hola,

No me queda muy claro qué pretendes demostrar. Si lo que pretendes es ver que \( x+\omega y = \epsilon(s + \omega t)^3 \) con \( x,y \) coprimos, \( s,t \) coprimos y \( \epsilon \) una unidad implica que \( \epsilon =\pm 1 \), me parece que es falso.
Por ejemplo, \( (2-\omega)^3 = 1 - 18 \omega  \). Luego \( \omega(2-\omega)^3 = \omega (1 - 18 \omega)
= 18 + 19 \omega  \). Ahí tienes un contraejemplo.

Sí era eso lo que pretendía demostrar. Gracias por contestar. El contraejemplo es bueno y me ha ayudado a ver dónde está mal la teoría:

Tengo:  \( 18+19\omega=\omega(2-\omega)^3 \) .  Como  \( \lambda \)  no divide á  \( 2-\omega \) ;  entonces sé que:  \( (2-\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  Por lo tanto:  \( \omega(2-\omega)^3\equiv{\pm \omega} \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( 18+19\omega\equiv{\pm \omega} \) mod \( 9 \)   \( \wedge \)   \( 18+19\equiv{\pm \omega} \) mod \( \lambda \)   \( \wedge \)   \( 37\pm\omega\equiv{0} \) mod \( \lambda \) .  Esto último era lo que yo decía "desde la teoría" que no podía ser; pero estaba equivocado, pues:  \( 36+1-\omega \)  sí es divisible entre  \( \lambda \) .  Gracias a ti he encontrado el fallo, me ha sido muy útil.


Otra cosa por curiosidad. En tu pie de firma pones que:  \( d^2=0 \)  ¿A qué te refieres?


Un cordial saludo,
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16 Marzo, 2019, 08:25 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Me alegro de que el contraejemplo te haya servido y hayas encontrado el fallo en el razonamiento.

Otra cosa por curiosidad. En tu pie de firma pones que:  \( d^2=0 \)  ¿A qué te refieres?

Hace referencia al álgebra homológica (https://en.wikipedia.org/wiki/Homological_algebra). Más espcíficamente hace referencia a la condición que cumplen las diferenciales de un complejo de cadenas. Si no sabes de qué va es algo largo de explicar, pero el asunto es que es una situación que se da una y otra vez en matemáticas en multitud de contextos (sobretodo topológicos, algebraicos y geométricos) muy distintos, y te permite definir unos grupos llamados homología (o cohomología) que son muy útiles. Si estás estudiando matemáticas, tarde o temprano te acabarás topando con esto.

De todas formas tampoco te tomes la firma muy en serio, ese día me dio por ahí, pero tal vez hoy me hubiera puesto otra cosa.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Marzo, 2019, 05:00 pm
Respuesta #7

Fernando Moreno

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Hola, creo que ya he resuelto mi problema.

Tengo:  \( x+\omega y=\epsilon\,(s+\omega t)^3 \) ;  para:  \( \epsilon \) ,  una de las unidades de  \( \mathbb{Z[\omega]} \)  -y-  \( x,y \)  \( \wedge \)  \( s,t \)  enteros usuales y coprimos cada pareja. Supongamos ahora que  \( 3 \)  divide á  " \( x \) " :

Caso 1: La unidad es:  \( \pm 1 \)

\( x+\omega y=\pm\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\pm\,(3st(s-t)) \)

No puede ser porque  \( 3 \)  dividiría á  \( y \) ,  que es coprimo con  \( x \) .

Caso 2: La unidad es:  \( \pm\omega \)

\( x+\omega y=\pm\omega\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Ahora divido entre  \( \omega \) .  Luego:  \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( y-x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( -x=\pm\,(3st(s-t)) \)

Podría ser.

Caso 3: La unidad es:  \( \pm\omega^2 \)

\( x+\omega y=\pm\omega^2\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega^2\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Ahora divido entre  \( \omega^2 \) .  Luego:  \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) .  Y :  \( -y=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \)   \( \wedge \)   \( x-y=\pm\,(3st(s-t)) \)

Lo que tampoco puede ser porque  \( x-y \)  es coprimo con  \( x \) .

Luego concluimos fácilmente que, con las condiciones de partida,  \( x+y\omega \)  se factoriza como:  " \( \omega\,(s+\omega t)^3 \) " .


Un saludo, 
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