Hola, creo que ya he resuelto mi problema.
Tengo: \( x+\omega y=\epsilon\,(s+\omega t)^3 \) ; para: \( \epsilon \) , una de las unidades de \( \mathbb{Z[\omega]} \) -y- \( x,y \) \( \wedge \) \( s,t \) enteros usuales y coprimos cada pareja. Supongamos ahora que \( 3 \) divide á " \( x \) " :
Caso 1: La unidad es: \( \pm 1 \)
\( x+\omega y=\pm\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) . Y : \( x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \) \( \wedge \) \( y=\pm\,(3st(s-t)) \)
No puede ser porque \( 3 \) dividiría á \( y \) , que es coprimo con \( x \) .
Caso 2: La unidad es: \( \pm\omega \)
\( x+\omega y=\pm\omega\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) . Ahora divido entre \( \omega \) . Luego: \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) . Y : \( y-x=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \) \( \wedge \) \( -x=\pm\,(3st(s-t)) \)
Podría ser.
Caso 3: La unidad es: \( \pm\omega^2 \)
\( x+\omega y=\pm\omega^2\,(s^3+3s^2\omega t+3s\omega^2 t^2+\omega^3 t^3)\,=\,\pm\omega^2\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) . Ahora divido entre \( \omega^2 \) . Luego: \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,((3st(s-t))\,\omega+s^3+t^3-3st^2) \) . Y : \( -y=\pm\,(s^3+t^3-3st^2) \) \( \wedge \) \( x-y=\pm\,(3st(s-t)) \)
Lo que tampoco puede ser porque \( x-y \) es coprimo con \( x \) .
Luego concluimos fácilmente que, con las condiciones de partida, \( x+y\omega \) se factoriza como: " \( \omega\,(s+\omega t)^3 \) " .
Un saludo,