Autor Tema: Álgebra de vectores

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04 Abril, 2019, 07:27 am
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José Romero

  • $$\pi$$
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Hola, necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

\( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d} \) son vectores que se forman desde un punto común \( O \) hasta los puntos \( A,B,C,D \). Si

\( b-a=2(d-c) \)

Muestre que el punto de intersección de las dos líneas que unen A y D y B y C trisecta estas líneas.

Ya lo he intentado de varias formas pero no logro resolverlo.


04 Abril, 2019, 08:24 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Una ayuda, el problema se puede referir tanto al plano como al espacio; se puede considerar a O como el origen de coordenadas, en esas condiciones A, B, C, D son puntos del espacio o del plano; pero que de todas maneras estarán en un plano \( \pi \), la razón es que \( b-a=2(d-c) \), por que esto implica que los vectores \( \vec{AB}, \vec{CD} \) son paralelos. Denominando P a la intersección entre los segmentos \( CB \) y \( AD \). Es conveniente hacer un croquis. Observa que los triángulos DPC y APB son semejantes, \( \angle P=\angle P, \ \angle PDC=\angle PAB \), la primer igualdad por ángulos opuestos por el vértice, y la segunda por ser ángulos alternos internos de dos rectas paralelas (CD y AB), en consecuencia la razón de semejanza k ha de ser la relación entre lados homólogos, es decir : \( k=\displaystyle\frac{ \left\|{b-a}\right\|}{ \left\|{d-c}\right\|}=\displaystyle\frac{ \left\|{AB}\right\|}{ \left\|{CD}\right\|}=2 \), esto implica que \( \displaystyle\frac{ \left\|{BP}\right\|}{ \left\|{CP}\right\|}=? \) y \( \displaystyle\frac{ \left\|{AP}\right\|}{ \left\|{DP}\right\|}=? \). Se ha entendido, puedes completar.


Saludos