Autor Tema: Resolución de un ejercicio con vectores en tres dimensiones

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02 Abril, 2019, 03:20 am
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Facundo E.

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Hola estoy teniendo problemas con un ejercicio, no sé cómo resolverlo. Las siguientes imágenes muestran el ejercicio, la primera nos brinda datos del ejercicio, y la segunda nos indica que debemos resolver. Disculpen los errores soy nuevo, creo que he adjuntado bien las imágenes pero no aparecen previsualizadas.






02 Abril, 2019, 04:49 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

El texto ha de escribirse y las fórmulas han de hacerse con LATEX, por favor.

Respecto al problema, la solución ha de ajustarse a los conocimientos que te permiten utilizar, integrales dobles, solamente geometría del espacio, hay que especificar que te permiten utilizar.

Saludos

02 Abril, 2019, 11:36 pm
Respuesta #2

Facundo E.

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Ah perdón, no lo tuve en cuenta. Yo sé que debo usar conceptos relacionados a espacios vectoriales como producto escalar, proyección de un vector, producto vectorial, versor de un vector, etc. Desde ya gracias

03 Abril, 2019, 12:02 am
Respuesta #3

Facundo E.

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El texto que aparece en las imágenes está escrito a continuación:

En la primera imagen:
Se necesita realizar el cerramiento de un espacio cuya planta (proyección sobre el plano xy) tiene forma romboidal de diagonales iguales de longitudes 2a (ver  Figura 4.1.a). Se tienen 4 puntales de longitud fija igual a 3,0m cada uno de ellos, que se designan del siguiente modo, tal como muestra la figura 4.1.b:
Puntal 1: se extiende desde el punto A hasta el punto B.
Puntal 2: se extiende desde el punto B hasta el punto C.
Puntal 3: se extiende desde el punto C hasta el punto D.
Puntal 4: se extiende desde el punto D hasta el punto A.
Desde los puntos B y D se extienden pasando por A y por C dos cubiertas planas. Las paredes también serán superficies planas.

En la segunda imagen:
I.a.Recordando que los puntales tienen longitud fija y considerando que la altura del punto B(h) es igual a la longitud de la diagonal de la base romboidal, determine la posición de los extremos de los mismos (puntos A,B,C y D) para lograr un volumen interior de \( 2\sqrt[]{6}  m^3 \).
I.b.Determine la longitud de las diagonales de la base romboidal.
I.c.Determine el área de las 2 cubiertas planas que se delimitan entre los puntos A, B y D y entre los puntos C, B y D.
I.d.Determine el ángulo  que forman todos los puntales entre sí.

Las figuras de las imágenes están a continuación




Desde ya gracias




03 Abril, 2019, 01:07 am
Respuesta #4

delmar

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Me parece que hay un error en el enunciado, observa que el triángulo BEA es recto en E, en esas condiciones ha de cumplirse Pitágoras \( BE^2+AE^2=AB^2 \) Ec. 1 ; pero \( AB=3, \ BE=2a \), también se observa que el triángulo AOE es recto en O (origen de coordenadas) en consecuencia, por Pitágoras \( a^2+a^2=AE^2\Rightarrow{AE=a\sqrt[ ]{2}} \), sustituyendo los valores en la Ec. 1, se tiene : \( (2a)^2+(a\sqrt[ ]{2})^2=3^2 \), en consecuencia queda determinado el valor de a, independientemente del volumen interior \( 2\sqrt[ ]{6} \) y esto no es lo que sugiere el enunciado; según el enunciado hay una relación entre la altura \( 2a \) y el volumen interior.

Saludos

03 Abril, 2019, 02:35 am
Respuesta #5

Facundo E.

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Gracias por tu respuesta delmar.
Creo que para resolverlo hay que pensar los puntales como vectores. Yo tengo las respuestas al enunciado porque me las dan, pero no sé como llegar a ellas.
En el ejercicio I.a. la respuesta es: Posición de los extremos de los puntales (puntos A, B, C y D) para lograr un volumen interior de \( 2\sqrt[ ]{6} m^3 \):

\( A(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{6}}{2}, 0, 0); B(0, \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{6}}{2}, \sqrt[ ]{6}); C(-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{6}}{2}, 0, 0); D(0, -\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{6}}{2}, \sqrt[ ]{6}) \)

Otros puntos:

\( E(0, \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{6}}{2}, 0); F(0, -\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{6}}{2},0) \)

Desde ya gracias

03 Abril, 2019, 03:10 am
Respuesta #6

delmar

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Las respuestas que te dan coinciden con las que se desprenden del aporte anterior, lo detallo :

Resolviendo la Ec. 1 : \( (2a)^2+(a\sqrt[ ]{2})^2=9\Rightarrow{4a^2+2a^2=9}\Rightarrow{6a^2=9}\Rightarrow{a=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3}{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{6}}{2}} \)

Sabiendo que las coordenadas de los puntos son : \( A=(a,0,0) \ B=(0,a,2a) \ C=(-a,0,0) \ D=(0,-a,a) \), al sustituir el valor de a obtenido, las respuestas coinciden con las que te dan; pero ¿el volumen coincide también? Hay que verificarlo.

Saludos.

03 Abril, 2019, 03:17 pm
Respuesta #7

hméndez

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Hola Facundo E.

Fíjate que tienes allí un poliedro que se puede ver como formado por dos pirámides congruentes una de base rectangular (BDFE) y
altura (OA) y la otra con la misma base (BDFE) y altura (OC) es decir son una el reflejo de la otra respecto a su base común (BDFE) .


El volumen de cada pirámide es entonces \( \sqrt[ ]{6} \) m^3, con base \( 2ah \) y altura \( a \).

\( 1/3\, base\cdot{} altura =1/3(2ah) a=\sqrt[ ]{6}\longrightarrow{}h=\dfrac{3\sqrt[ ]{6}}{2a^2} \)

Editado

La otra ecuación es como la que sugiere delmar pero con \( BE=h \)      \( (a\sqrt[ ]{2})^2+h^2=3^2 \).

Con la solución de estas dos ecuaciones y la condición \( h=2a \) puedes conseguir valores únicos para: \( a \) y \( h \) y las coordenadas \( A=(a, 0, 0),\qquad C=(-a, 0, 0),\qquad E=(0, a, 0),\qquad F=(0,-a, 0),\qquad B=(0, a, h) \)  y  \( D=(0,-a, h) \)

Saludos

03 Abril, 2019, 07:46 pm
Respuesta #8

delmar

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La deducción que hace hmméndez, es correcta, en realidad cuando \( h=2a \) el volumen del interior es \( 2\sqrt[ ]{6} \ \ m^3 \), queda verificado utilizando geometría del espacio. Este hecho revela lo innecesario del dato \( h=2a \) (altura h igual a la diagonal de la base romboidal) dentro del enunciado del problema, ese problema esta mal enunciado. Creo que puedes proseguir.

Saludos

06 Abril, 2019, 02:28 am
Respuesta #9

Facundo E.

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Gracias delmar y hméndez sus respuestas me han ayudado, ahora entiendo el ejercicio.