Hola
Solamente para complementar, la correcta demostración de mathtruco, al suponer que f no se anula en el intervalo \( [0,1] \), se esta suponiendo que \( \exists{x_0}\in{[0,1]} \ / \ f(x_0)\neq{0} \), en esas condiciones hay dos alternativas, que se excluyen :
1) \( f(x_0)>0 \) ó 2) \( f(x_0)<0 \)
Considerando la alternativa 1), el Teorema de Conservación de Signo para las funciones continuas dice que \( \exists{\delta}>0 \ / \ f(x)>0, \ si \ x\in{]x_0-\delta,x_0+\delta[} \), denominando \( x_1=x_0-\delta, \ \ x_2=x_0+\delta \), se tiene el intervalo \( ]x_1,x_2[\subset{[0,1]} \), donde bajo la alternativa 1) \( f(x)>0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[} \). Lo mismo ocurre para la alternativa 2) con la única diferencia que \( f(x)<0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[} \)
Saludos