[Estoesesparto]

Buenas tardes, si tengo que \(  \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\, dt  \) = 0 \(  \forall{x}\in{[0,1]}  \) con f continua en [0,1] ¿entonces f es la función nula?

[mathtruco]

Hola Estoesesparto.

Podemos proceder por reducción al absurdo. Supongamos que

    \( \Big(\forall x\in[0,1]\Big) \)   \( \displaystyle\int_0^xf(t)dt=0 \),

y supongamos por el contrario que \( f \) no se anula en todo el intervalo \( [0,1] \).


Como \( f \) no se anula en todo \( [0,1] \) y es continua, podemos elegir un intervalo \( ]x_1,x_2[\subset ]0,1[ \) donde

    \( \Big(\forall x\in ]x_1,x_2[\Big) \)   \( f(x)>0 \)   \( \vee \)   \( f(x)<0 \).

Se sigue que

    \( \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\neq 0 \).



Luego, por hipótesis

    \( \displaystyle\int_0^{x_1}f(t)dt=0 \)   y   \( \displaystyle\int_0^{x_2}f(t)dt=0 \)

de donde

    \( \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=\int_0^{x_2}f(t)dt-\int_0^{x_1}f(t)dt=0 \)

lo que es una contradicción, y por tanto la función debe anularse en todo \( [0,1] \).

[delmar]

Hola

Solamente para complementar, la correcta demostración de mathtruco, al suponer que f no se anula en el intervalo \( [0,1] \), se esta suponiendo que \( \exists{x_0}\in{[0,1]} \ / \ f(x_0)\neq{0} \), en esas condiciones hay dos alternativas, que se excluyen :

1) \( f(x_0)>0 \)   ó     2) \( f(x_0)<0 \)

Considerando la alternativa 1), el Teorema de Conservación de Signo para las funciones continuas dice que \( \exists{\delta}>0 \ / \ f(x)>0, \ si \ x\in{]x_0-\delta,x_0+\delta[} \), denominando \( x_1=x_0-\delta, \ \ x_2=x_0+\delta \), se tiene el intervalo \( ]x_1,x_2[\subset{[0,1]} \), donde bajo la alternativa 1) \( f(x)>0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[} \). Lo mismo ocurre para la alternativa 2) con la única diferencia que \( f(x)<0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[} \)


Saludos

[argentinator]

Puede que haya varias maneras de abordar la demostración.
A la prueba de mathtruco me gustaría ponerla en otros términos.
Por ejemplo, agregar que en el intervalo abierto \( (x_1, x_2)  \) 
es posible tomar un intervalo cerrado \( [\alpha, \beta] \), tal que \( \alpha < \beta \).
¿Para qué?
Para usar que se sabe que en un intervalo cerrado una función continua alcanza un mínimo, digamos en un punto \( c \).
De ahí que, si se considera el caso en que \( f(x) > 0 \), entonces tendríamos que \( f(c) > 0 \), y entonces:

\( \int_{\alpha}^\beta f(x) \,dx  \geq \int_{\alpha}^\beta f(c)\,dx=f(c)(\beta-\alpha)=:\gamma. \)

Luego:

\( 0<\gamma\leq \int_{\alpha}^\beta f(x)\,dx=\int_0^\beta - \int_0^\alpha = 0-0 = 0 \)

contradicción.

[Masacroso]

Otra manera sería recurriendo al teorema fundamental del cálculo: tenemos que \( f \) es continua, por tanto \( F(x):=\int_0^x f(t)\, dt \) es una primitiva de \( f \), y por tanto \( F'=f \). Como \( F=0 \) entonces necesariamente \( f=0 \).

(Si es una integral de Lebesgue lo anterior sigue siendo válido, ya que la integral de Riemann y de Lebesgue coinciden en este caso.)