[FilippoLapi]

Buenos días, necesito ayuda con este problema. Desde ya, muchísimas gracias!

Sea A= {1,2,3,...,365} el conjunto de los días del año 2018, numerados a partir del 1 (1ro de enero de 1018) al 365 (31 de diciembre de 2018). Sea R la relación binaria en A dada por xRy si y sólo si x cae en el mismo día de la semana que y.
a) Cuántas clases de equivalencia hay? Escríbalas, eligiendo una notación que considere adecuada. Escriba el conjunto cociente.
b) Escriba la relación R mediante una fórmula.
c) Dado un día del año x, escriba una fórmula que permita determinar en qué día de la semana cae. Le será útil asignar números  las clases de equivalencia. Dispone de las operaciones aritméticas y de las funciones "resto" y " cociente", que toman dos números enteros a y b y devuelven el resto y el cociente, respectivamente, de la división entera de a por b. Por ejemplo, resto(17,3) = 2, cociente(17,3)=5. (Dato: el 1/1/2018 fue lunes).
d) Escriba una fórmula que permita determinar qué día del año (de 1 a 265) es un día de la semana dado (lunes, martes, etc) de la semana n del año. Consideremos en este ejercicio que la semana empieza el domingo. Verifique que la fórmula funcione, consultando algunos días en un calendario.
e) Repita los últimos dos incisos para un año en el que el 1ro. de enero sea jueves.

[noisok]

Imagínate que tienes una mesa con 7 cajones. A cada cajón le pones un nombre: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo. Ahora supón que te piden que cada día del año escribas en un papel la fecha, y que arrojes el papel en el cajón correspondiente. Pasado un año, si decides examinar el cajón del lunes, te encontraras con todos los días del año que han sido lunes, y todos estos días tienen esa particularidad, y son idénticos con respecto a ese hecho. Pues ese cajón es la clase de equivalencia "lunes" y todos ellos están relacionados por cumplir esa particularidad. Estos días no tienen nada que ver con el resto de días de otros cajones, porque están en otro cajón, y por tanto, no están relacionados. Puedes razonar de manera similar con el resto de cajones. Por último, el conjunto cociente serian los cajones de la mesa.

No todas las relaciones son de este tipo, solo las llamadas relaciones de equivalencia. Se puede escribir \( a\approx{}b \) en vez de  \( aRb \). Si te fijas no hay dos días del año que puedan estar en el mismo cajón, y por otra parte, si juntas todos los folios de todos los cajones tienes todos los días el año.

Espero que esto te ayude.

[FilippoLapi]

Imagínate que tienes una mesa con 7 cajones. A cada cajón le pones un nombre: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo. Ahora supón que te piden que cada día del año escribas en un papel la fecha, y que arrojes el papel en el cajón correspondiente. Pasado un año, si decides examinar el cajón del lunes, te encontraras con todos los días del año que han sido lunes, y todos estos días tienen esa particularidad, y son idénticos con respecto a ese hecho. Pues ese cajón es la clase de equivalencia "lunes" y todos ellos están relacionados por cumplir esa particularidad. Estos días no tienen nada que ver con el resto de días de otros cajones, porque están en otro cajón, y por tanto, no están relacionados. Puedes razonar de manera similar con el resto de cajones. Por último, el conjunto cociente serian los cajones de la mesa.

No todas las relaciones son de este tipo, solo las llamadas relaciones de equivalencia. Se puede escribir \( a\approx{}b \) en vez de  \( aRb \). Si te fijas no hay dos días del año que puedan estar en el mismo cajón, y por otra parte, si juntas todos los folios de todos los cajones tienes todos los días el año.

Espero que esto te ayude.

Desde ya, muchas gracias por tu respuesta. Lo que me sigue haciendo dudar es cómo plantear las fórmulas.

[noisok]

Considera los siguientes puntos:
1) En vez de llamar a nuestros cajones por lunes, martes,... los vamos a identificar por un número, de tal manera que al lunes le corresponde el 1, al martes el 2,...
2) Si yo tengo dos números enteros \( a  \)y \( b \), el resto obtenido al dividirlos lo expresaremos como: \( a\%b \) (el operador usado en programación para la operación llamada modulo). Por ejemplo 234%7=3
3) Renombrar todos los días del año, empezando el primero por 1 y así hasta el último del año, que seria el día 365. 
4) El primer día del año es lunes (datos del problema).
5) Una semana tiene 7 días. 

Teniendo en cuenta eso, intentemos pensar:
1) los días que son lunes : el primer día del año(dato)=1, el siguiente sera entonces el anterior mas 7 días = 8, el anterior mas 7 =15, y así sucesivamente.
2) los días que son martes : el segundo día del año=2, anterior mas 7 =9, 9+7=16, y asi sucesivamente.
3) Procediendo igual para el resto.

Aunque te parezca mentira cuando divides cualquier número del punto uno por 7 todos tienen el resto 1. Cuando haces lo mismo con los del punto 2, el resto es 2; y así sucesivamente. Así que solo es cuestión de que formalices esto mediante una fórmula.

Espero que te ayude






 

[feriva]

Hola.

Tienes que pensarlo así

\( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & l\\
2 & 2 & ma\\
3 & 3 & mi\\
4 & 4 & j\\
5 & 5 & v\\
6 & 6 & s\\
7 & 0 & d\\
8 & 1 & l\\
9 & 2 & ma\\
10 & 3 & mi\\
11 & 4 & j\\
12 & 5 & v\\
13 & 6 & s\\
14 & 0 & d\\
15 & 1 & l\\
16 & 2 & ma\\
17 & 3 & mi\\
18 & 4 & j\\
...\\
365 & 1 & l
\end{array}
  \)

Es decir, en la primera columna se enumeran los 365 días del año, los elementos del conjunto A; en la segunda los días de la semana, cambiando 7 por cero, porque el módulo son los días de la semana, 7.

Nos dan el dato de que el primer día del año empieza en lunes; fíjate en la tabla que te he puesto, en cómo el número de día dividido entre 7 da resto 1 siempre que es lunes; da resto 2 cuando es martes... etc. Éstos van formando el conjunto cociente de las clases de equivalencia; que puedes escribir \( A_{7}
  \), donde A es el conjunto de los días del año (si fueran todos los enteros sería \( Z_{7}
  \)).

Por tanto, la relación de equivalencia \( x\mathfrak{\mathcal{R}}y
  \) se da cuando x e y tienen el mismo resto.

Saludos.