Autor Tema: Demostrar que un sistema dinámico tiene únicamente un punto crítico

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23 Marzo, 2019, 23:23
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Juan Sánchez

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Sea el sistema dinámico $$\begin{cases}x'=P_n(x,y)\\y'=Q_n(x,y)\end{cases}$$
Donde \[ P_n \] y \[ Q_n \] son polinomios homogeneos de grado \[ n \], cómo puedo demostrar que, en el caso de que exista, el único punto crítico aillado del sistema es el origen y es único?

No sé como demostrar la unicidad. He intentado suponer que hay 2 puntos críticos y llegar a alguna contradicción pero no lo consigo.

24 Marzo, 2019, 06:45
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

No sé como demostrar la unicidad. He intentado suponer que hay 2 puntos críticos y llegar a alguna contradicción pero no lo consigo.

Es que no tienes que demostrar que \[ (0,0) \] es el único punto crítico, sinó el único aislado.

Si \[ (a,b)\neq{(0,0)} \] es un punto crítico, entonces se cumple para todo \[ k\in{\mathbb{R}} \]:

\[ P_n(ka,kb)=k^nP_n(a,b)=0 \]
\[ Q_n(ka,kb)=k^nQ_n(a,b)=0 \]

Luego \[  (a,b) \] no está aislado.


25 Marzo, 2019, 06:44
Respuesta #2

Luis Fuentes

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