Autor Tema: ED en el plano con polinomios homogéneos

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14 Marzo, 2019, 10:46 pm
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Lobo Huargo

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Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Considera la ecuación diferencial
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
x'=P_{n}(x,y) \\
y'=Q_{n}(x,y)
\end{array}
\right.
\end{equation}

donde \( P_n \) y \( Q_n \) son  polinomios homogéneos de grado \( n \).

a) Demuestra que si el sistema tiene algún punto crítico aislado, este es el origen y es único.

b) Demuestra que si n es par entonces existen rectas invariantes que pasan por el origen, y que por tanto no puede ser ni un centro ni un foco.

El apartado a) es un simple problema de ceros de polinomios, pero no se ni como plantearlo.

En el apartado b), usando un cambio de variable a coordenadas polares el sistema se expresa como

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
r'=r^n(cos(\theta)P_{n}(cos(\theta),sin(\theta))+sin(\theta)Q_{n}(cos(\theta),sin(\theta))) \\
\theta'=r^{n-1}(cos(\theta)Q_{n}(cos(\theta),sin(\theta))-sin(\theta)P_{n}(cos(\theta),sin(\theta)))
\end{array}
\right.
\end{equation}

Por tanto existirá alguna recta invariante que pase por el origen si y solo si exite $\theta$ tal que
$$cos(\theta)Q_{n}(cos(\theta),sin(\theta))-sin(\theta)P_{n}(cos(\theta),sin(\theta))=0$$

y llegados a este punto ya no sé como continuar...

Debe haber alguna propiedad fundamental de los polinomios homogéneos que se me escapa.
Agradeceré cualquier ayuda con el tema.

15 Marzo, 2019, 10:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Considera la ecuación diferencial
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
x'=P_{n}(x,y) \\
y'=Q_{n}(x,y)
\end{array}
\right.
\end{equation}

donde \( P_n \) y \( Q_n \) son  polinomios homogéneos de grado \( n \).

a) Demuestra que si el sistema tiene algún punto crítico aislado, este es el origen y es único.

b) Demuestra que si n es par entonces existen rectas invariantes que pasan por el origen, y que por tanto no puede ser ni un centro ni un foco.

El apartado a) es un simple problema de ceros de polinomios, pero no se ni como plantearlo.

Ten en cuenta que si \( (x_0,y_0) \) es un punto de anulación de un polinomio homogéneo en dos variables, entonces cualquier múltiplo \( (\lambda x_0,\lambda y_0) \) también lo es; por tanto si se anula en un punto distinto del origen de hecho tiene infinitos puntos de anulación (se agrupan en rectas que pasan por el origen).

Citar
En el apartado b), usando un cambio de variable a coordenadas polares el sistema se expresa como

\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
r'=r^n(cos(\theta)P_{n}(cos(\theta),sin(\theta))+sin(\theta)Q_{n}(cos(\theta),sin(\theta))) \\
\theta'=r^{n-1}(cos(\theta)Q_{n}(cos(\theta),sin(\theta))-sin(\theta)P_{n}(cos(\theta),sin(\theta)))
\end{array}
\right.
\end{equation}

Por tanto existirá alguna recta invariante que pase por el origen si y solo si exite $\theta$ tal que
$$cos(\theta)Q_{n}(cos(\theta),sin(\theta))-sin(\theta)P_{n}(cos(\theta),sin(\theta))=0$$

y llegados a este punto ya no sé como continuar...

Directamente. Si una recta \( (x,y)=t(a,b)=(at,bt) \) es invariante entonces:

\( (x',y')=(P_n(at,bt),Q_n(at,bt)) \) tiene que ser paralelo a \( (a,b) \)

Eso equivale a que:

\( P_n(at,bt)b-Q_n(at,bt)a=0 \)

\( t^nP_n(a,b)b-t^nQ_n(a,b)a=0 \)

\( P_n(a,b)b-Q_n(a,b)a=0 \)

Pero si \( n \) es par entonces, \( P_n(a,b)b-Q_n(a,b)a \), es un polinomio homogéneo de grado \( n+1 \) impar y por tanto siempre tiene una solución no trivial.

Saludos.


15 Marzo, 2019, 01:52 pm
Respuesta #2

Lobo Huargo

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De acuerdo!! Clarísimo!!

Muchas gracias.