Autor Tema: No hallo plantear una ED para este ejercicio

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26 Febrero, 2019, 01:31 am
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AndresE

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Hola amigos, tengo horas y horas planteando mas de una vez este ejercicio de aplicaciones geometricas de las ED y no consigo dar con la respuesta que es dada por el ejercicio, necesito que me guien por favor, yo llegue a la siguiente conclusion mas no se si sea la correcta:

El problema es el siguiente:
Halle el haz de curvas para los cuales se cumple que el producto de  la distancia entre el punto de contacto \( P_{(x,y)} \) y el origen de coordenadas por el intercepto de la recta normal con el eje x es igual a la abscisa del punto de contacto.

bueno lo que yo llegue a plantear fue lo siguiente:

\( d_{(p,o)}X_N=x \); Si \(  d_{(p,o)}= \sqrt[ ]{x^2+y^2} \wedge X_N= x+yy'  \)

Entonces me queda lo siguiente:

\( (x+yy')\sqrt[ ]{x^2+y^2}=x \) Esta seria mi funcion a integrar para conseguir su solucion general, mas no se si sea la correcta ya que al momento de factorizar para resolver por el metodo de EDO de grado superior no hallo como sacar a x o a y como factor comun para resolverlas como me han indicado en clase, agradeceria un monto una guia ya que no se como continuarlo y si el problema es en el planteamiento hazmelo saber por favor. :'( :'( :'( :-[ :-\

26 Febrero, 2019, 08:28 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola amigos, tengo horas y horas planteando mas de una vez este ejercicio de aplicaciones geometricas de las ED y no consigo dar con la respuesta que es dada por el ejercicio, necesito que me guien por favor, yo llegue a la siguiente conclusion mas no se si sea la correcta:

El problema es el siguiente:
Halle el haz de curvas para los cuales se cumple que el producto de  la distancia entre el punto de contacto \( P_{(x,y)} \) y el origen de coordenadas por el intercepto de la recta normal con el eje x es igual a la abscisa del punto de contacto.

bueno lo que yo llegue a plantear fue lo siguiente:

\( d_{(p,o)}X_N=x \); Si \(  d_{(p,o)}= \sqrt[ ]{x^2+y^2} \wedge X_N= x+yy'  \)

Entonces me queda lo siguiente:

\( (x+yy')\sqrt[ ]{x^2+y^2}=x \) Esta seria mi funcion a integrar para conseguir su solucion general, mas no se si sea la correcta ya que al momento de factorizar para resolver por el metodo de EDO de grado superior no hallo como sacar a x o a y como factor comun para resolverlas como me han indicado en clase, agradeceria un monto una guia ya que no se como continuarlo y si el problema es en el planteamiento hazmelo saber por favor. :'( :'( :'( :-[ :-\

Yo creo que el planteo es correcto.

Haz el cambio \( u=x^2+y^2 \), de forma que \( u'=2x'+2yy'=2(x+yy') \).

Saludos.

27 Febrero, 2019, 03:00 am
Respuesta #2

AndresE

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 :D Muchas gracias por darme ese paso para poder resolverla, una pregunta que ahora me surge es que de esa forma al hacer el cambio de variable

Cita de: Luis Fuentes [quote
Haz el cambio \( u=x^2+y^2 \), de forma que \( u'=2x'+2yy'=2(x+yy') \).

La ecuación diferencial que obtengo la puedo resolver por cualquier método de resolución de las EDO y al final de resolverla devolver el cambio de variable? Agradecería la respuesta a esta inquietud, Muchas gracias  :laugh:

27 Febrero, 2019, 08:10 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

La ecuación diferencial que obtengo la puedo resolver por cualquier método de resolución de las EDO y al final de resolverla devolver el cambio de variable? Agradecería la respuesta a esta inquietud, Muchas gracias  :laugh:

Si, te queda una ecuación en variables separadas:

\( \dfrac{u'}{2}\sqrt{u}=x \)

Resuelve y deshaz el cambio. Inténtalo. Si no te sale vuelve a preguntar indicando las dudas concretas que te han surgido.

Saludos.

28 Febrero, 2019, 02:13 am
Respuesta #4

AndresE

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Ok muchas gracias, ya lo intentare, mañana mostrare que me quedo  :D

02 Marzo, 2019, 04:40 am
Respuesta #5

AndresE

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Muchisimas gracias con ese cambio de variable la ED me da de inmediato el resultado que me piden que obtenga  :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso:

la resolvi de la siguiente forma

\( \sqrt[ ]{u}\displaystyle\frac{du}{2dx}=x \) multiplicando a ambos lados de la ecuacion por \( 2x \)

Obtengo lo siguiente

\( \sqrt[ ]{u}du=2xdx \) ahora integro ambos lados de la igualdad y simplificando me queda lo siguiente a lo que le devolvere el cambio de variable propuesto que fue \( u=x^2+y^2 \)

\( 2u^{\displaystyle\frac{3}{2}} -3x^2=c \)
Por lo que me queda de la siguiente forma la solucion general

\( 2(x^2+y^2)^{\displaystyle\frac{3}{2}} - 3x^2=c \)

Lo que me llama la atencion es que tengo la certeza que esta ED podria tambien pero llevaria mas trabajo resolverla muchas gracias nuevamente por tu ayuda

02 Marzo, 2019, 10:53 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Por lo que me queda de la siguiente forma la solucion general

\( 2(x^2+y^2)^{\displaystyle\frac{3}{2}} - 3x^2=c \)

Está bien.

Citar
Lo que me llama la atencion es que tengo la certeza que esta ED podria tambien pero llevaria mas trabajo resolverla muchas gracias nuevamente por tu ayuda

No entiendo esta frase. ¿Tienes la certeza de qué cosa?¿De que ED hablas?¿Qué es lo que podrías hacer y no has hecho?¡Ya has resuelto la EDO!.

Saludos.

02 Marzo, 2019, 02:35 pm
Respuesta #7

AndresE

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Oh disculpa me he equivocado escribiendo lo que me refería que la EDO
\( (x+yy′)\sqrt[ ]{x^2+y^2}=x \) la podía resolver por otro método de resolución pero esto seria mas largo

04 Marzo, 2019, 09:08 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Oh disculpa me he equivocado escribiendo lo que me refería que la EDO
\( (x+yy′)\sqrt[ ]{x^2+y^2}=x \) la podía resolver por otro método de resolución pero esto seria mas largo

Ok. Si, es posible que una misma EDO se pueda resolver con diferentes métodos, claro.

Saludos.