Autor Tema: Paralelismo de vectores

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06 Marzo, 2019, 06:14 am
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xxGearAntonioxx

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Como puedo demostar que si en \( R^2 \)      \( \vec{d} \) = \( \vec{b} \)+\( \vec{c} \)    y \( \vec{b} \) es paralelo a \( \vec{a} \), entonces \( \vec{d} \) es paralelo a \( \vec{a} \) si y solo si \( \vec{c} \) es paralelo a \( \vec{a} \).

06 Marzo, 2019, 07:09 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Cómo puedo demostar que si en \( R^2 \)      \( \vec{d} \) = \( \vec{b} \)+\( \vec{c} \)    y \( \vec{b} \) es paralelo a \( \vec{a} \), entonces \( \vec{d} \) es paralelo a \( \vec{a} \) si y solo si \( \vec{c} \) es paralelo a \( \vec{a} \).

Respondo para crear confusión en vez de solución :laugh:.

En primer lugar traduzcamos al lenguaje lógico el enunciado, porque sino no se entiende.

Yo creo que el enunciado se traduce en que para todo \( \vec a,\vec b,\vec c,\vec d\in\Bbb R^2 \):

\( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\iff\vec c\parallel\vec a). \)

Yo creo que lo que sigue no está bien:

Partamos de \( \vec d \). Tenemos que llegar a que es paralelo a \( \vec a \). Por hipótesis sabemos que \( \vec d=\vec b+\vec c \), y como \( \vec b=k_1\vec a \) luego \( \vec d=k_1\vec a+\vec c \). Lo que no sé si está bien es considerar como hipótesis también que \( \vec c\parallel\vec a \): luego \( \vec d=k_1\vec a+k_2\vec a=(k_1+k_2)\vec a=k_3\vec a \), y esto es, por definición de paralelismo, \( \vec d\parallel\vec a \), como queríamos probar.

Desde ya que necesita revisión, así que mejor esperá a alguien más.

Saludos

06 Marzo, 2019, 08:24 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

En primer lugar traduzcamos al lenguaje lógico el enunciado, porque sino no se entiende.

Si has sido capaz de traducirlo (escribir lo mismo de manera más críptica) es que SI lo has entendido. En mi opinión se entendía mejor antes; pero para gustos pintan colores.

Citar
Yo creo que el enunciado se traduce en que para todo \( \vec a,\vec b,\vec c,\vec d\in\Bbb R^2 \):

\( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\iff\vec c\parallel\vec a). \)

Bien.

Citar
Yo creo que lo que sigue no está bien:

Partamos de \( \vec d \). Tenemos que llegar a que es paralelo a \( \vec a \). Por hipótesis sabemos que \( \vec d=\vec b+\vec c \), y como \( \vec b=k_1\vec a \) luego \( \vec d=k_1\vec a+\vec c \). Lo que no sé si está bien es considerar como hipótesis también que \( \vec c\parallel\vec a \): luego \( \vec d=k_1\vec a+k_2\vec a=(k_1+k_2)\vec a=k_3\vec a \), y esto es, por definición de paralelismo, \( \vec d\parallel\vec a \), como queríamos probar.

Está mal que digas "Partamos de \( \vec d \). Tenemos que llegar a que es paralelo a \( \vec a \).". En realidad tienes que probar dos cosas:

1) que si \( \vec d\parallel\vec a \) entonces \( \vec c\parallel\vec a \).
2) que si \( \vec c\parallel\vec a \) entonces \( \vec d\parallel\vec a \).

Todo ello bajo las hipótesis comunes de \( \vec d=\vec b+\vec c \) y \( \vec b\parallel \vec a \). Entonces si en lo que tu has hecho lo comienzas diciendo:

"Partamos de \( \vec c\parallel \vec a \). Tenemos que llegar a que \( \vec d \) es paralelo a \( \vec a \)"

Tu argumento es una prueba correcta de (2).

Ahora falta (1), que es muy parecido.

Saludos.

06 Marzo, 2019, 08:39 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola Luis

Si has sido capaz de traducirlo (escribir lo mismo de manera más críptica) es que SI lo has entendido. En mi opinión se entendía mejor antes; pero para gustos pintan colores.

Vaya que no lo hemos discutido :laugh:. No entiendo cómo podés decir que esta traducción (pasar del lenguaje natural al simbólico) es "críptico", si lo que se hace es para el bien del lector, ya que tenerlo en forma lógica permite vislumbrar hipótesis, tesis y da el puntapié inicial para comenzar la demostración/refutación del enunciado.

Está mal que digas "Partamos de \( \vec d \). Tenemos que llegar a que es paralelo a \( \vec a \).". En realidad tienes que probar dos cosas:

1) que si \( \vec d\parallel\vec a \) entonces \( \vec c\parallel\vec a \).
2) que si \( \vec c\parallel\vec a \) entonces \( \vec d\parallel\vec a \).

Todo ello bajo las hipótesis comunes de \( \vec d=\vec b+\vec c \) y \( \vec b\parallel \vec a \). Entonces si en lo que tu has hecho lo comienzas diciendo:

"Partamos de \( \vec c\parallel \vec a \). Tenemos que llegar a que \( \vec d \) es paralelo a \( \vec a \)"

Tu argumento es una prueba correcta de (2).

Ahora falta (1), que es muy parecido.

¡Gracias! Ahora le toca a xxGearAntonioxx probar (1), a ver qué tal le va.

Pregunta off-topic de lógica de primer orden
Entiendo que el enunciado es equivalente a:

\( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\implies\vec c\parallel\vec a\wedge\vec c\parallel\vec a\implies\vec d\parallel\vec a). \)

Si decidimos separarlo como propusiste, tenemos que

  • \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\implies\vec c\parallel\vec a) \).
  • \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec c\parallel\vec a\implies\vec d\parallel\vec a) \).

Mi pregunta es si por ejemplo en (2), ¿podemos considerar escribirlo como \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a\;{\color{magenta}\wedge\;\vec c\parallel\vec a})\implies(\vec d\parallel\vec a) \)? Pero entonces estaríamos faltando a la verdad ya que dijimos que las "hipótesis comunes" eran 2, y ahora son 3, ¿verdad?

Pero por otro lado sabemos que necesitamos de esa hipótesis coloreada para poder demostrar el enunciado, y sabemos que para probar un enunciado podemos considerar resolverlo mediante la proposición \( p\implies q \), y pareciera que no considerarlo como hipótesis común no se está cumpliendo esto.

De forma general, si tenemos \( p\implies(q\implies r) \) ¿podemos suscribir con total seguridad que eso es equivalente a \( (p\wedge q)\implies r \)?

He comprobado mediante leyes lógicas y ambas proposiciones son equivalentes, así que la respuesta sería "Sí", salvo por el detalle de que antes hemos considerado como única hipótesis a \( p \), y ahora tenemos \( p \) y \( q \), lo que haría inválida esta equivalencia, ¿no? ???.
[cerrar]

Saludos y gracias

AGREGADO

06 Marzo, 2019, 08:50 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Vaya que no lo hemos discutido :laugh:. No entiendo cómo podés decir que esta traducción (pasar del lenguaje natural al simbólico) es "críptico", si lo que se hace es para el bien del lector, ya que tenerlo en forma lógica permite vislumbrar hipótesis, tesis y da el puntapié inicial para comenzar la demostración/refutación del enunciado.

Bueno esto es totalmente subjetivo, no pretendo convencer a nadie. En general YO tardo más tiempo en interpretar una escritura mediante símbolos que una escritura (razonable) mediante lenguaje natural.

Para que se entienda lo de "razonable", no considero como tal escribir "equis más i griega al cuadrado es igual al cuadrado de equis más dos veces el producto de equis por i griega más i griega al cuadrado". Pero insisto en que no tengo una razón objetiva para defender esto (ni lo contrario).

Lo que si defiendo es que ambas escrituras son correctas y perfectamente entendibles.

Citar
Entiendo que el enunciado es equivalente a:

\( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\implies\vec c\parallel\vec a\wedge\vec c\parallel\vec a\implies\vec d\parallel\vec a). \)

Si decidimos separarlo como propusiste, tenemos que

  • \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\implies\vec c\parallel\vec a) \).
  • \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec c\parallel\vec a\implies\vec d\parallel\vec a) \).

Bien.

Citar
Mi pregunta es si por ejemplo en (2), ¿podemos considerar escribirlo como \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a\;{\color{magenta}\wedge\;\vec c\parallel\vec a})\implies(\vec d\parallel\vec a) \)? Pero entonces estaríamos faltando a la verdad ya que dijimos que las "hipótesis comunes" eran 2, y ahora son 3, ¿verdad?

Estaría bien escribir (2) así. Lo que pasa es que ahora una de esas tres hipótesis ya no sería común a (1). Pero es no quiere decir que esa forma de escribirlo que propones esté mal; sigue siendo otra forma correcta de presentar lo que queremos demostrar.

Citar
De forma general, si tenemos \( p\implies(q\implies r) \) ¿podemos suscribir con total seguridad que eso es equivalente a \( (p\wedge q)\implies r \)?

Si. Compruébalo si quieres con tablas de la verdad.

Saludos.

06 Marzo, 2019, 08:55 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Bueno esto es totalmente subjetivo, no pretendo convencer a nadie. En general YO tardo más tiempo en interpretar una escritura mediante símbolos que una escritura (razonable) mediante lenguaje natural.

Para que se entienda lo de "razonable", no considero como tal escribir "equis más i griega al cuadrado es igual al cuadrado de equis más dos veces el producto de equis por i griega más i griega al cuadrado". Pero insisto en que no tengo una razón objetiva para defender esto (ni lo contrario).

Jajaja, me causó gracia ese ejemplo de ecuación, muy bueno :aplauso: :laugh:.

Estaría bien escribir (2) así. Lo que pasa es que ahora una de esas tres hipótesis ya no sería común a (1). Pero es no quiere decir que esa forma de escribirlo que propones esté mal; sigue siendo otra forma correcta de presentar lo que queremos demostrar.

No sé. Estás contraargumentando la manera en que lo escribí, porque ese "Lo que pasa es que ahora una de esas tres hipótesis ya no sería común a (1)" significa todo menos "No hay lagunas lógicas".

Para darme una idea de que escribirlo en forma lógica "puede fallar", ¿podrías escribir un ejemplo o explicar en profundidad el ejemplo en cuestión, por favor?

Si. Compruébalo si quieres con tablas de la verdad.

Sisi, lo hice en el agregado de recién en verde. Lo que veo es que ahora hemos agregado una hipótesis que antes no estaba; no sé si esto es perjudicial a nivel lógico o no, y me gustaría que me lo aclararas. No sé si esto tiene que ver con la frase "Lo que pasa es que ahora una de esas tres hipótesis ya no sería común a (1)".

Saludos

06 Marzo, 2019, 09:40 am
Respuesta #6

feriva

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  • ¡EUKERA!... ¡UEREKA!... ¡EUREKA! (corregido)
Como puedo demostar que si en \( R^2 \)      \( \vec{d} \) = \( \vec{b} \)+\( \vec{c} \)    y \( \vec{b} \) es paralelo a \( \vec{a} \), entonces \( \vec{d} \) es paralelo a \( \vec{a} \) si y solo si \( \vec{c} \) es paralelo a \( \vec{a} \).

Hola.

Aunque ya está hecho, te dejo esto en spoiler por si te sirve.

Spoiler

Si el vector “b” es linealmente dependiente respecto de “a”, entonces

\( b=\lambda a
  \), donde lambda es un escalar.

Así, queda

\( d=\lambda a+c
  \)

Análogamente, si “d” es paralelo respecto de “a”, entonces tambień podemos hacer \( d=\beta a
  \), donde beta es también un escalar.

\( \beta a=\lambda a+c
  \)

de donde

\( a(\beta-\lambda)=c
  \).

Ésta última es la operación clave, ya que, podemos entender el vector “a” como un “factor común” que multiplica al escalar “beta menos lambda”, al que puedes llamar, si quieres, con otra letra.

*(Puedes ver fácilmente que esta propiedad es cierta \( \beta(x,y,z)-\lambda(x,y,z)=(\beta x-\lambda x,\,\beta y-\lambda y,\,\beta z-\lambda z)
  \), donde se puede sacar factor común, ahora propiamente dicho, a cada coordenada, de manera que x,y,z.. y todas las que pudiera haber, quedan multiplicadas por \( (\beta-\lambda)
  \)).

De esta forma queda demostrado que “si b es paralelo... etc., entonces...”, pero como dice “si y sólo si...”, tienes que hacer lo mismo considerando en la condición, primeramente, que “c” es paralelo a “a”; o bien te pueda valer con señalar el procedimiento diciendo que las cuentas son análogas.

[cerrar]

Saludos. Buenos días.

06 Marzo, 2019, 09:45 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

No sé. Estás contraargumentando la manera en que lo escribí, porque ese "Lo que pasa es que ahora una de esas tres hipótesis ya no sería común a (1)" significa todo menos "No hay lagunas lógicas".

No, me explicado mal, me has entendido mal o probablemente ambas cosas.

La escritura alternativa que has propuesto es totalmente correcta. No hay duda ni matiz en eso.

Lo único que quería decir es que con la escritura original las hipótesis de ambas proposiciones son \( \vec d=\vec b+\vec c \) y\(  \vec b\parallel \vec a \). Entonces tiene sentido decir que (1) y (2) tienen hipótesis comunes.

Pero con la nueva escritura (2) además tiene otra hipótesis que no comparte con (1), entonces no tiene sentido decir que (1) y (2) tiene hipótesis comunes. Pero esto no tiene mayor importancia. Es como si te digo que con la primera escritura podría decir:

"tanto en (1) como en (2) aparecen dos símbolos \( \Rightarrow \)"

Pero con la segunda escritura de (2) ya sólo aparece un símbolo implica, por tanto no podría decir lo anterior. ¿Y qué?.

Mi comentario vino a cuento por esta frase:

Citar
Pero entonces estaríamos faltando a la verdad ya que dijimos que las "hipótesis comunes" eran 2, y ahora son 3, ¿verdad?

Es decir cambiar la sintaxis de alguna proposición puede hacer (¡obviamente!) que alguna afirmación sobre la sintaxis de la proposición pase de ser verdadera a falsa y viceversa. Pero eso no cambia el significado de la proposición.

Citar
Para darme una idea de que escribirlo en forma lógica "puede fallar", ¿podrías escribir un ejemplo o explicar en profundidad el ejemplo en cuestión, por favor?

Que quede claro una vez más: no falla nada. Ambas escrituras son 100% correctas.

Citar
Lo que veo es que ahora hemos agregado una hipótesis que antes no estaba; no sé si esto es perjudicial a nivel lógico o no, y me gustaría que me lo aclararas. No sé si esto tiene que ver con la frase "Lo que pasa es que ahora una de esas tres hipótesis ya no sería común a (1)"
.

Una vez más: no hay nada perjudicial. Totalmente correcto.  :D

Saludos.

06 Marzo, 2019, 09:51 am
Respuesta #8

manooooh

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Hola

Pero con la segunda escritura de (2) ya sólo aparece un símbolo implica, por tanto no podría decir lo anterior. ¿Y qué?.

Supongo que si aislamos las proposiciones del contexto entonces serán inconexas, no habrá forma de juntarlas como estaban antes de separarlas, lo que da cuenta de que no siempre conviene pasar al lenguaje lógico todo el rato (porque tener dos cosas inconexas no es bueno), como yo creo.

Y no me digas "¿Y para qué querés aislar las proposiciones?" porque recordá que todo esto viene del caso general \( p\implies(q\implies r)\equiv(p\wedge q)\implies r \), así que es importante para mí poder entenderte todo lo que decís.

Saludos

06 Marzo, 2019, 10:11 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Supongo que si aislamos las proposiciones del contexto entonces serán inconexas, no habrá forma de juntarlas como estaban antes de separarlas, lo que da cuenta de que no siempre conviene pasar al lenguaje lógico todo el rato (porque tener dos cosas inconexas no es bueno), como yo creo.

No se que contestar a esto, francamente. La frase en rojo es tan genérica que no se que decir al respecto. Quizá aplicada a situaciones concretas podría estar de acuerdo, o en desacuerdo o parecerme indiferente.

En este caso me parece indiferente. Es decir TODAS las escrituras que han aparecido son correctas y equivalentes y no hay nada "malo" en usar una u otra.

demostar que si en \( R^2 \)      \( \vec{d} \) = \( \vec{b} \)+\( \vec{c} \)    y \( \vec{b} \) es paralelo a \( \vec{a} \), entonces \( \vec{d} \) es paralelo a \( \vec{a} \) si y solo si \( \vec{c} \) es paralelo a \( \vec{a} \).

Citar
\( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\iff\vec c\parallel\vec a) \).

Citar
1. \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\implies\vec c\parallel\vec a) \).
2. \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec c\parallel\vec a\implies\vec d\parallel\vec a) \).

Citar
1. \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a)\implies(\vec d\parallel\vec a\implies\vec c\parallel\vec a) \).
2. \( (\vec d=\vec b+\vec c\wedge\vec b\parallel\vec a\;{\color{magenta}\wedge\;\vec c\parallel\vec a})\implies(\vec d\parallel\vec a) \).

Citar
Y no me digas "¿Y para qué querés aislar las proposiciones?" porque recordá que todo esto viene del caso general \( p\implies(q\implies r)\equiv(p\wedge q)\implies r \), así que es importante para mí poder entenderte todo lo que decís.

No acabo de comprender que es lo que no entiendes, que cabo suelto ves.

Saludos.

06 Marzo, 2019, 10:21 am
Respuesta #10

manooooh

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Hola

A lo que voy es decidir si está mal en algún aspecto decir que en el miembro izquierdo de \( p\implies(q\implies r)\equiv(p\wedge q)\implies r \) tenga como hipótesis única \( p \), mientras que en la expresión de la derecha ahora sean dos hipótesis. ¿Esto podría causar alguna laguna lógica o exclusivamente tiene que ver con nuestro lenguaje u otro motivo no-lógico?

Saludos

06 Marzo, 2019, 10:36 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

A lo que voy es decidir si está mal en algún aspecto decir que en el miembro izquierdo de \( p\implies(q\implies r)\equiv(p\wedge q)\implies r \) tenga como hipótesis única \( p \), mientras que en la expresión de la derecha ahora sean dos hipótesis. ¿Esto podría causar alguna laguna lógica o exclusivamente tiene que ver con nuestro lenguaje u otro motivo no-lógico?

No, no hay ninguna laguna lógica ahí. Ningún problema.

Saludos.