Autor Tema: Consecuencias de los axiomas de incidencia y de orden.

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25 Marzo, 2019, 01:12 am
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José Romero

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Hola, que tal.

Necesito ayuda con uno de los teoremas de Hilbert, los cuales titula como "Consecuencias de los axiomas de incidencia y de orden." En particular, hay un teorema que no he podido resolver, el cual resulta ser una generalización del siguiente teorema:

Teorema 1: Dados cuatro puntos cualesquiera de una recta, pueden ser designados siempre por \( A,B,C,D \), de tal modo que el \( B \)esté situado entre \( A \) y \( C \)y también entre \( A \) y \( D \), y además el \( C \) quede entre \( A \) y \( D \), y también entre \( B \) y \( D \).

El teorema, en general versa así

Teorema 2(en general): Dado un número finito de puntos cualesquiera sobre una recta, pueden estos ser designados con \( A,B,C,D,E,...,L \) de tal manera que el punto \( B \)esté situado entre \( A \), de un lado y \( C,D,E,...,L \) del otro lado, además \( C \) quede entre \( A  \) y \( B \) por una parte y \( D,E,...,L \), por la otra, \( D \) esté entre \( A,B,C \), por un lado, y \( E,...,L \) por el otro, y así sucesivamente. Existe además, fuera del modo de asignación anterior, otra inversa \( L,...,E,D,C,B,A \), la cual goza de la misma condición.

Yo traté de resolverlo así:

 Dí por hecho (por el teorema 1) que se cumple que \( B \)esté situado entre \( A \) y \( C \)y también entre \( A \) y \( D \), y además el \( C \) quede entre \( A \) y \( D \), y también entre \( B \) y \( D \).

Luego, para los siguientes puntos \( E,F,G,H \) se cumple que  \( F \)esté situado entre \( E \) y \( G \)y también entre \( E \) y \( H \), y además el \( G \) quede entre \( E \) y \( H \), y también entre \( F \) y \( H \).

Y así sucesivamente hasta llegar a los puntos \( I,J,K,L \), siendo estos los últimos a considerar, se cumple que  \( J \)esté situado entre \( I \) y \( K \)y también entre \( I \) y \( L \), y además el \( K \) quede entre \( I \) y \( L \), y también entre \( J \) y \( L \).

Entonces, el problema que se me presenta es ¿cómo puedo unir esos segmentos para poder decir que pertenecen a la misma línea recta?

También pensé en considerar que en cada uno de los segmentos tengan un punto en común, es decir, en vez de tener los segmentos \( A,B,C,D \) y \( E,F,G,H \) podrían ser \( A,B,C,D \) y \( D,E,F,G \). De estos últimos segmentos lo que se podría hacer es demostrar que entre \( A \) y \( B \) están \( B,C,D,E,F,G \)...  Llegando a este punto, ¿puedo suponer que se cumple el teorema si hacemos lo mismo sucesivamente?