Autor Tema: Racionalizar el denominador de tres fracciones

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Febrero, 2019, 05:03 am
Leído 1670 veces

Murdok

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 6
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas noches foro del Rincón Matemático

Primero que todo quiero dar las gracias por la ayuda que me puedan ofrecer.

Me encuentro solucionando un libro llamado "Matemáticas Simplificadas 2da Edición", voy en el capitulo 6 "Potenciación y Radicación" de Aritmética y en el tema sobre racionalización y en el ejercicio #62 no pude solucionar los siguientes ítems:

19. \( \frac{1}{1+\sqrt{\mathstrut 2}-\sqrt{\mathstrut 3}} \)

20. \( \frac{2}{1+\sqrt{\mathstrut 3}+\sqrt{\mathstrut 5}} \)

Para ambos ejercicios he agrupado el denominador para que este quede de la forma \( (a\pm{}b) \) luego multiplico por el conjugado del denominador y continuo con la solución del problema sin poder llegar al resultado que indica al libro.

Es acá donde solicito su colaboración en la solución de dichos ejercicios.

Gracias.

28 Febrero, 2019, 07:51 am
Respuesta #1

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Supongo que te piden que racionalices eso. Lo que dices que haces parece que está bien. Tienes que hacerlo dos veces para conseguir una expresión sin raíces en el denominador y eso es todo.

Si sigues teniendo dudas estaría bien que escribieses la expresión a la que llegas tú y la que da el libro, a ver si así averiguamos lo que pasa.

Saludos.

01 Marzo, 2019, 04:57 am
Respuesta #2

Murdok

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 6
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas noches martiniano
Primero que todo gracias por tu respuesta.

A continuación relaciono el desarrollo del ejercicio al que he llegado.

19. \( \frac{1}{1+\sqrt{\mathstrut 2}-\sqrt{\mathstrut 3}} \)
\(
=\frac{1}{\left(1+\sqrt{\mathstrut 2}\right)-\sqrt{\mathstrut 3}}\cdot{}\frac{\left(1-\sqrt{\mathstrut 2}\right)+\sqrt{\mathstrut 3}}{\left(1-\sqrt{\mathstrut 2}\right)+\sqrt{\mathstrut 3}}
 \)
\(
=\frac{1-\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 3}}{\left(1-\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2-\left(\sqrt{\mathstrut 3}\right)^2}
 \)
\(
=\frac{1-\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 3}}{\left(1\right)^2-2\sqrt{\mathstrut 2}+\left(\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2-3}
 \)
\(
=\frac{1-\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 3}}{1-2\sqrt{\mathstrut 2}+2-3}
 \)
\(
=\frac{1-\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 3}}{-2\sqrt{\mathstrut 2}}
 \)

Se racionaliza de nuevo ya que el denominador aún existe una raíz

\(
=\frac{1-\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 3}}{-2\sqrt{\mathstrut 2}}\cdot{}\frac{2\sqrt{\mathstrut 2}}{2\sqrt{\mathstrut 2}}
 \)
\(
=\frac{2\sqrt{\mathstrut 2}-2\left(\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2+\left(2\sqrt{\mathstrut 2}\cdot{}\sqrt{\mathstrut 3}\right)}{-\left(2\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2}
 \)
\(
=\frac{2\sqrt{\mathstrut 2}-(2\cdot{}2)+2\sqrt{\mathstrut 6}}{(4\cdot{}2)}
 \)
\(
=\frac{-4+2\sqrt{\mathstrut 2}+2\sqrt{\mathstrut 6}}{8}
 \)
\(
=\frac{2\left(-2+\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 6}\right)}{8}
 \)
\(
=\frac{1}{4}\left(-2+\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 6}\right)
 \)

La respuesta del libro es

\(
=\frac{1}{4}\left(2+\sqrt{\mathstrut 2}+\sqrt{\mathstrut 6}\right)
 \)


Quedo atento a sus observaciones y me indiques en que he fallado.

01 Marzo, 2019, 06:22 am
Respuesta #3

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,967
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Murdok, bienvenido al foro!!

Recordá leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.



Si me permitís, dejame indicarte el error :).

En realidad veo dos. El primero y clave para entender por qué no te da la cuenta es aquí:

19. \( \frac{1}{1+\sqrt{\mathstrut 2}-\sqrt{\mathstrut 3}} \)
\(
=\frac{1}{\left(1+\sqrt{\mathstrut 2}\right)-\sqrt{\mathstrut 3}}\cdot{}\frac{\color{red}\left(1-\sqrt{\mathstrut 2}\right)\color{black}+\sqrt{\mathstrut 3}}{\color{red}\left(1-\sqrt{\mathstrut 2}\right)\color{black}+\sqrt{\mathstrut 3}}
 \)
(...)

¿Por qué cambiás el \( 1+\sqrt2 \) por \( 1-\sqrt2 \)? Recordá que tenemos la identidad \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \); vos debés tomar \( a=1+\sqrt2 \) y \( b=\sqrt3 \) ya que tenés \( (1+\sqrt2)-(\sqrt3) \). Ese es el error principal.

El otro (que no te lo vas a encontrar si rehacés las cuentas) es:

(...)
\(
=\frac{2\sqrt{\mathstrut 2}-2\left(\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2+\left(2\sqrt{\mathstrut 2}\cdot{}\sqrt{\mathstrut 3}\right)}{\color{magenta}-\left(2\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2}
 \)
\(
=\frac{2\sqrt{\mathstrut 2}-(2\cdot{}2)+2\sqrt{\mathstrut 6}}{\color{magenta}(4\cdot{}2)}
 \)
(...)

Falta un signo menos, pero ya te digo que en las cuentas bien hechas esto no aparece.

Saludos

P.D. ¿Por qué escribís dentro de la raíz el comando \mathstrut? Es innecesario y no queda bonito (la raíz queda alargada), con escribir [tex]\sqrt{3}[/tex] etc. es suficiente.

01 Marzo, 2019, 10:27 am
Respuesta #4

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,054
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.

02 Marzo, 2019, 02:40 am
Respuesta #5

Murdok

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 6
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas noches manooooh

Gracias por tus observaciones

Doy respuesta a cada una de ellas

1. Escribí " \mathstrut?" fue porque en los ejemplos de la ayuda LaTex cuando encontré como hacer una raíz cuadrada estaba ese TAG y continué utilizando lo indicado allí, pero con tu observación haré más rápido los comandos LaTex para escribir las soluciones a los ejercicios.

2. Con respecto a que cuando agrupe las tres fracciones para quedaran con dos entidades, si había tenido encuenta tu observación pero cuando desarrolle el ejercicio la solución a la que llegue estuvo más alejada del resultado del libro, entonces por eso fue que creí que allí estaba el problema y con este cambio llegue a una solución más parecida a la del libro.

3. Con respecto al signo menos que omite, lo que hice fue que por estar al cuadrado daba positivo.

A continuación relaciono la solución a la que he llegado teniendo en cuenta su observación, pero esta aún no coincide con el resultado esperado.

19. \( \frac{1}{1+\sqrt{ 2}-\sqrt{ 3}} \)

\( =\frac{1}{\left(1+\sqrt{ 2}\right)-\sqrt{ 3}}\cdot{}\frac{\left(1+\sqrt{ 2}\right)+\sqrt{ 3}}{\left(1+\sqrt{ 2}\right)+\sqrt{ 3}} \)

\( =\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2} \)

\( =\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1^2+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2+3} \)

\( =\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2+3} \)

\( =\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6+2\sqrt{2}} \)

Se racionaliza de nuevo ya que el denominador aún existe una raíz.

\( =\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6+2\sqrt{2}}\cdot{}\frac{6-2\sqrt{2}}{6-2\sqrt{2}} \)

\( =\frac{6-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}+2(\sqrt{2})^2+6\sqrt{3}-(2\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{3})}{6^2-(2\sqrt{2})^2} \)

\( =\frac{6-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4+6\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{36-(2^2\cdot{}2)} \)

\( =\frac{10-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}+6\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{36-8} \)

\( =\frac{10+4\sqrt{2}+6\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{28} \)

Y es aquí donde me pierdo porque no veo como simplificar para llegar al resultado esperado el cual es:
\( =\frac{1}{4}\left(2+\sqrt{ 2}+\sqrt{ 6}\right) \)

Quedo atento a sus comentarios sobre el ejercicio

Gracias.

02 Marzo, 2019, 03:40 am
Respuesta #6

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,967
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

1. Escribí " \mathstrut?" fue porque en los ejemplos de la ayuda LaTex cuando encontré como hacer una raíz cuadrada estaba ese TAG y continué utilizando lo indicado allí, pero con tu observación haré más rápido los comandos LaTex para escribir las soluciones a los ejercicios.

Debí aclarar que utilizar \mathstrut a veces es aplicable a ciertos casos y a otros no. Por ejemplo, en este enlace se proponen algunos ejemplos en los que mi respuesta de "Escribí con \sqrt{}" está mal visualmente, pero eso no quita que siempre haya que escribir la raíz con ese comando, ya que dependiendo del argumento se pueden agregar nuevos comandos o no.

3. Con respecto al signo menos que omite, lo que hice fue que por estar al cuadrado daba positivo.

El signo menos no está dentro del exponente, como pasó en tu desarrollo:

(...)
\(
=\frac{2\sqrt{\mathstrut 2}-2\left(\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2+\left(2\sqrt{\mathstrut 2}\cdot{}\sqrt{\mathstrut 3}\right)}{\color{magenta}-\left(2\sqrt{\mathstrut 2}\right)^2}
 \)
\(
=\frac{2\sqrt{\mathstrut 2}-(2\cdot{}2)+2\sqrt{\mathstrut 6}}{\color{magenta}(4\cdot{}2)}
 \)
(...)

\( -(2\sqrt2)^2=-(4)(2)=-8\neq8 \).

19. \( \frac{1}{1+\sqrt{ 2}-\sqrt{ 3}} \)

\( =\frac{1}{\left(1+\sqrt{ 2}\right)-\sqrt{ 3}}\cdot{}\frac{\left(1+\sqrt{ 2}\right)+\sqrt{ 3}}{\left(1+\sqrt{ 2}\right)+\sqrt{ 3}} \)

\( =\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\color{blue}\left(1+\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2} \)
(...)

La equivocación está en lo marcado en azul. Recordá que la identidad que estamos usando es \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \) (el miembro izquierdo tiene un signo menos, no el más).

Cualquier duda volvé a preguntar.

Saludos

02 Marzo, 2019, 04:16 am
Respuesta #7

Murdok

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 6
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas noches manooooh

Ya tome tu recomendación y realice de nuevo el ejercicio y ya llegue a la respuesta.  ;D

Mil gracias.  :aplauso: