[manooooh]

Hola

¿Qué relación hay para ti entre lo que preguntan en el enunciado y las tablas de verdad? (...)

¿Es una pregunta en serio o con otro significado?

La verdad es que vi las dos expresiones y me puse a ver si con tablas de verdad se podía concluir lo mismo que con cualquier contraejemplo. ¿Ahora estás poniendo en duda de que las tablas de verdad NO constituyen un método válido para probar la falsedad de la proposición (en un Álgebra de Boole)? Decímelo así lo tengo en cuenta a partir de ahora, porque me gustaría equivocarme lo menos posible.

¿Qué relación ves tú entre eso y una tabla de verdad? En principio, cuando sustituyes las variables por los valores V y F estás evaluando ambas expresiones en un álgebra de Boole muy concreta, la que tiene dos elementos, que puedes llamar V y F o 1 y 0. (...)

Es que todo está compuesto por dos estados (no nos metamos en terrenos pantanosos como la Mecánica Cuántica). O es verdadero o es falso; o es 1 o es 0. No hay término medio. ¿Vos estás diciendo que hay términos medios? ¿Podrías citar un ejemplo (conocido), por favor? Estoy perdido con que yo crea que estás diciendo que hay más de dos estados posibles en, por ejemplo, una tabla de verdad .

¿Por qué es así el qué? No te sigo.

Me refiero a por qué presentás un teorema de una estructura algebraica finita (un Álgebra de Boole finita como el ejercicio en cuestión) cuando a mí nunca me nombraron ese teorema. A mí no me nombraron un teorema que establezca que si dos tablas de verdad de dos proposociones lógicas de primer orden son iguales entonces las dos proposiciones son equivalentes, pero porque supongo que es algo con total sentido, carente de ser enunciado y demostrado. No sé por qué especialmente existe este teorema (que de hecho es muy bonito) que presentaste para un Álgebra de Boole.

¿A qué llamas álgebras de Boole equivalentes? ¿A qué llamas fórmulas de un álgebra de Boole?

Creo que con el contraejemplo solo hubiera bastado... .

Pues, como pasaba con las funciones, supongo que dos Álgebras de Boole son equivalentes \( ^{(1)} \) cuando la fórmula de una puede convertirse mediante operaciones válidas en la otra, y viceversa. Por ejemplo, en un Álgebra de Boole cuya fórmula es \( x+1 \) y otra cuya fórmula es \( 1 \), ambas son equivalentes, puesto que \( x+1 \) es, por definición de absorbente, igual al supremo i.e. \( 1 \). Ídem al revés. Por tanto, \( x+1 \) y \( 1 \) son dos fórmulas equivalentes.

La "fórmula" de la que hablo es aquella operación lógica (o varias) que hace operar los elementos de un Álgebra de Boole, y genera otro elemento del conjunto. Es cerrada.

Saludos

\( ^{(1)} \) No confundir con la definición de isomorfismo entre dos Álgebras de Boole.

[Carlos Ivorra]

¿Qué relación hay para ti entre lo que preguntan en el enunciado y las tablas de verdad? (...)

¿Es una pregunta en serio o con otro significado?

¿Dónde ves la broma? Un álgebra de Boole es una estructura algebraica y una tabla de verdad es otra cosa. Si te preguntan si \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \) es verdadero en cualquier anillo no usarás tablas de verdad para comprobarlo. ¿Por qué en un álgebra de Boole sí?

La relación obvia es que puedes ver a \( \{V, F\} \) como un ejemplo de álgebra de Boole en la que comprobar si se cumple la igualdad y, si no se cumple, ya tienes un contraejemplo. Lo que no es obvio es que si en ese ejemplo no tienes un contraejemplo, entonces es que no hay contraejemplos.

La verdad es que vi las dos expresiones y me puse a ver si con tablas de verdad se podía concluir lo mismo que con cualquier contraejemplo. ¿Ahora estás poniendo en duda de que las tablas de verdad NO constituyen un método válido para probar la falsedad de la proposición (en un Álgebra de Boole)? Decímelo así lo tengo en cuenta a partir de ahora, porque me gustaría equivocarme lo menos posible.

No, ésa es la cuestión, que sí que es un método válido, pero no es trivial que lo sea. Lo que es obvio es que si al valorar dos fórmulas obtienes valores de verdad diferentes es que la igualdad entre ambas no es cierta en cualquier álgebra de Boole. Lo que no es obvio es el recíproco.

Es que todo está compuesto por dos estados (no nos metamos en terrenos pantanosos como la Mecánica Cuántica). O es verdadero o es falso; o es 1 o es 0. No hay término medio. ¿Vos estás diciendo que hay términos medios? ¿Podrías citar un ejemplo (conocido), por favor? Estoy perdido con que yo crea que estás diciendo que hay más de dos estados posibles en, por ejemplo, una tabla de verdad .

No. Lo que te digo es que si quieres comprobar si \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \) es válido en cualquier anillo no usas tablas de verdad, mientras que para comprobar una identidad en un álgebra de Boole sí que puedes usarlas, y no es evidente por qué en ese caso sí.

Me refiero a por qué presentás un teorema de una estructura algebraica finita (un Álgebra de Boole finita como el ejercicio en cuestión) cuando a mí nunca me nombraron ese teorema. A mí no me nombraron un teorema que establezca que si dos tablas de verdad de dos proposociones lógicas de primer orden son iguales entonces las dos proposiciones son equivalentes, pero porque supongo que es algo con total sentido, carente de ser enunciado y demostrado.

Depende de como definas la equivalencia de proposiciones. Si la defines precisamente como que tienen la misma tabla de verdad, entonces eso es cierto por definición, pero si te refieres a que se puede demostrar (a partir de unos axiomas oportunos, con modus ponens y todo eso) que una implica la otra y viceversa, entonces eso es el teorema de completitud del cálculo proposicional, y sí que tiene su enunciado y su demostración.

No sé por qué especialmente existe este teorema (que de hecho es muy bonito) que presentaste para un Álgebra de Boole.

Pues porque afirma algo que no es trivial en absoluto. No vale sólo para álgebras de Boole finitas, sino para cualesquiera, aunque sean infinitas.

Pues, como pasaba con las funciones, supongo que dos Álgebras de Boole son equivalentes \( ^{(1)} \) cuando la fórmula de una puede convertirse mediante operaciones válidas en la otra, y viceversa. Por ejemplo, en un Álgebra de Boole cuya fórmula es \( x+1 \) y otra cuya fórmula es \( 1 \), ambas son equivalentes, puesto que \( x+1 \) es, por definición de absorbente, igual al supremo i.e. \( 1 \). Ídem al revés. Por tanto, \( x+1 \) y \( 1 \) son dos fórmulas equivalentes.

La "fórmula" de la que hablo es aquella operación lógica (o varias) que hace operar los elementos de un Álgebra de Boole, y genera otro elemento del conjunto. Es cerrada.

Pues no consigo entender a qué llamas "la fórmula" de un álgebra de Boole. Por ejemplo, tú mismo has puesto un ejemplo de álgebra de Boole (con dibujo incluido) con cuatro elementos. ¿Cuál es su fórmula?

[manooooh]

Hola

¿Dónde ves la broma? Un álgebra de Boole es una estructura algebraica y una tabla de verdad es otra cosa. Si te preguntan si \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \) es verdadero en cualquier anillo no usarás tablas de verdad para comprobarlo. ¿Por qué en un álgebra de Boole sí?

Perdón si mi comentario fue tomado como que era una broma, en absoluto no fue así. Pensé que era una pregunta que no necesitaba ser respondida, como decir "Y te preguntarás, "¿qué comí ayer?" Entonces (...)" que no se responde.

Pues no sé por qué en un Álgebra de Boole sí .

La relación obvia es que puedes ver a \( \{V, F\} \) como un ejemplo de álgebra de Boole en la que comprobar si se cumple la igualdad y, si no se cumple, ya tienes un contraejemplo.

Ahh... ¿o sea que, a fin de cuentas, yo consideré \( D=\{V,F\} \)?

Lo que no es obvio es que si en ese ejemplo no tienes un contraejemplo, entonces es que no hay contraejemplos.

No entendí.

Pues no consigo entender a qué llamas "la fórmula" de un álgebra de Boole. Por ejemplo, tú mismo has puesto un ejemplo de álgebra de Boole (con dibujo incluido) con cuatro elementos. ¿Cuál es su fórmula?

No sé, gracias por esa aclaración. Entonces no sé a qué llamo fórmula. ¿Qué sería, por tanto, esto: "\( a'b+(abc)'+c(b'+a)=b'+c' \)"?

Saludos

[Carlos Ivorra]

Pues no sé por qué en un Álgebra de Boole sí .

Una parte es obvia: \( \{V, F\} \) es un álgebra de Boole, luego si ahí falla la igualdad es que no es cierta en toda álgebra de Boole. Lo que no es inmediato es que si ahí es cierta la igualdad, entonces lo es en toda álgebra de Boole.

Ahh... ¿o sea que, a fin de cuentas, yo consideré \( D=\{V,F\} \)?

Es una forma de verlo. Por eso te preguntaba si tú veías de alguna otra manera la relación entre las álgebras de Boole y las tablas de verdad.

Lo que no es obvio es que si en ese ejemplo no tienes un contraejemplo, entonces es que no hay contraejemplos.

No entendí.

Imagina que te preguntan si en todo anillo \( A \) se cumple \( (x+y)^2 = xy \). Puedes mostrar que eso es falso tomando como contraejemplo el anillo de dos elementos \( A=\{0,1\} \) haciendo \( x=0 \), \( y=1 \). Así el miembro izquierdo vale \( 1 \) y el miembro derecho vale \( 0 \). Como el anillo de dos elementos es un contraejemplo, ya tienes un contraejemplo.

En cambio, si te preguntan si en todo anillo se cumple \( (x+y)^2 = x^2+y^2 \), el anillo de dos elementos no es un contraejemplo, pues en ese anillo eso es cierto dando a \( x, y \) cualquiera de los cuatro posibles pares de valores.

Pero el hecho de que el anillo de dos elementos no sea un contraejemplo no quiere decir que no haya otros contraejemplos. Por ejemplo, \( \mathbb Z \) es un contraejemplo, pues esa igualdad es falsa en \( \mathbb Z \).

Esto es lo que no sucede en las álgebras de Boole. Si el álgebra de dos elementos no es un contraejemplo a una identidad, entonces no hay otros contraejemplos posibles que puedas encontrar.

Pues no consigo entender a qué llamas "la fórmula" de un álgebra de Boole. Por ejemplo, tú mismo has puesto un ejemplo de álgebra de Boole (con dibujo incluido) con cuatro elementos. ¿Cuál es su fórmula?

No sé, gracias por esa aclaración. Entonces no sé a qué llamo fórmula. ¿Qué sería, por tanto, esto: "\( a'b+(abc)'+c(b'+a)=b'+c' \)"?

Lo mismo que \( (x+y)^2 = x+2y \), una igualdad entre dos expresiones que puedes evaluar en cualquier anillo (en este caso, o en cualquier álgebra de Boole en el otro) y que, por tanto, puedes plantearte si darán siempre el mismo resultado para cualesquiera valores que des a las variables en el anillo (o álgebra) elegido. Tanto en este caso como en el del enunciado, la respuesta es no, y se comprueba mostrando un anillo (o álgebra) donde es posible dar valores adecuados a las variables para que el resultado sea distinto.

[manooooh]

Hola

Una parte es obvia: \( \{V, F\} \) es un álgebra de Boole, luego si ahí falla la igualdad es que no es cierta en toda álgebra de Boole. Lo que no es inmediato es que si ahí es cierta la igualdad, entonces lo es en toda álgebra de Boole.

Wow, ahora veo que es algo no trivial de probar. Es como decir que si se cumple para un caso particular, entonces se cumple para todas la álgebras, cosa que no siempre ocurre. Gracias.

¿Sabés de otros ejemplos (además de las álgebras de Boole) en los que ocurra que un caso particular sirva para probar un enunciado general?

Imagina que te preguntan si en todo anillo \( A \) se cumple \( (x+y)^2 = xy \). Puedes mostrar que eso es falso tomando como contraejemplo el anillo de dos elementos \( A=\{0,1\} \) haciendo \( x=0 \), \( y=1 \). Así el miembro izquierdo vale \( 1 \) y el miembro derecho vale \( 0 \). Como el anillo de dos elementos es un contraejemplo, ya tienes un contraejemplo.

De acuerdo. Con lo que no estoy de acuerdo es con lo siguiente, quizás porque no sé lo que es un "anillo" ya que nunca lo estudié:

En cambio, si te preguntan si en todo anillo se cumple \( (x+y)^2 = x^2+y^2 \), el anillo de dos elementos no es un contraejemplo, pues en ese anillo eso es cierto dando a \( x, y \) cualquiera de los cuatro posibles pares de valores.

Pues, \( (x+y)^2=x^2+y^2 \) sólo es cierto si trabajamos con los enteros módulo \( 2 \) i.e. \( \Bbb Z_2 \) ya que \( 2xy\equiv0\pmod2 \). ¿A esto es lo que llamás "anillo"?

Porque si eso no es un anillo, entonces con \( x=1 \) e \( y=1 \) tenemos que \( (1+1)^2=4 \), mientras que \( 1^2+1^1=2 \), pero \( 4\neq2 \). Es un contraejemplo totalmente válido.

Lo mismo que \( (x+y)^2 = x+2y \), una igualdad entre dos expresiones que puedes evaluar en cualquier anillo (en este caso, o en cualquier álgebra de Boole en el otro) y que, por tanto, puedes plantearte si darán siempre el mismo resultado para cualesquiera valores que des a las variables en el anillo (o álgebra) elegido. Tanto en este caso como en el del enunciado, la respuesta es no, y se comprueba mostrando un anillo (o álgebra) donde es posible dar valores adecuados a las variables para que el resultado sea distinto.

De acuerdo.

Saludos

[Carlos Ivorra]

¿Sabés de otros ejemplos (además de las álgebras de Boole) en los que ocurra que un caso particular sirva para probar un enunciado general?

Por ejemplo, si demuestras que una identidad del tipo de \( (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \) se cumple en el cuerpo de los números complejos, de hecho se cumple en todos los cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0 (como la clausura algebraica de \( \mathbb Q \), por ejemplo). En realidad esto se cumple para afirmaciones más generales que las identidades polinómicas.

De acuerdo. Con lo que no estoy de acuerdo es con lo siguiente, quizás porque no sé lo que es un "anillo" ya que nunca lo estudié:

No es muy difícil llegar aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_%28mathematics%29

Pues, \( (x+y)^2=x^2+y^2 \) sólo es cierto si trabajamos con los enteros módulo \( 2 \) i.e. \( \Bbb Z_2 \) ya que \( 2xy\equiv0\pmod2 \). ¿A esto es lo que llamás "anillo"?

No sólo es cierto en los enteros módulo 2. Es cierto en todos los anillos de característica 2 (los que cumplen \( 1+1=0 \)), que son muchos más que ese caso particular.

Porque si eso no es un anillo, entonces con \( x=1 \) e \( y=1 \) tenemos que \( (1+1)^2=4 \), mientras que \( 1^2+1^1=2 \), pero \( 4\neq2 \). Es un contraejemplo totalmente válido.

Pues eso te decía, que el anillo de dos elementos (los enteros módulo 2) no son un contraejemplo, pero existen otros contraejemplos.