Autor Tema: Demostrar que \(C-D\) y \(D-C\) son disjuntos para todo \(C\) y \(D\)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

22 Febrero, 2019, 06:23 pm
Leído 1078 veces

natydlv

  • Novato
  • Mensajes: 141
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Hola compañeros, tengo esta demostración que no entiendo... alguna idea? saludos

Demostrar que \( C-D \) y \( D-C \) son disjuntos para todo conjunto C y D

edit: me comí una palabra

se me ocurrió algo pero igual me parece que no va... lo dejo aqui

\( \forall{x}:x\in{(C-D)}\Rightarrow{x\in{(C\cap{Dcomplemento)}}}\Rightarrow{x\in{C\wedge x\in{Dcomplemento}}}\Rightarrow{x\in{C\wedge x\not\in{D}}}\Rightarrow{x\in{C}} \)

luego por razonamiento similar tomo \( x\in{(D-C)}\Rightarrow{x\in{D}} \)

luego puedo decir que la intersección entre ambos conjuntos es vacía.... \( (C-D)\cap{(D-C)}=\emptyset \)




22 Febrero, 2019, 07:07 pm
Respuesta #1

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,991
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Demostrar que \( C-D \) y \( D-C \) son disjuntos para todo conjunto \( C \) y \( D \)

Recordemos que dos conjuntos \( A \) y \( B \) son disjuntos si \( A\cap B=\emptyset \).

Esto está mal:

Spoiler
Creo que ya lo tengo. Nos piden demostrar que la equivalencia

\( C-D=\emptyset\iff D-C=\emptyset \)

es cierta, para todo conjunto \( C \) y \( D \).

Es un trabajo un tanto pesado, así que si te perdés no dudes en preguntar.

En primer lugar recordemos que por definición \( A-B=A\cap\overline B \), luego el enunciado es equivalente a

\( C\cap\overline D=\emptyset\iff D\cap\overline C=\emptyset. \)

Separemos en dos casos:

  • \( C\cap\overline D=\emptyset\implies D\cap\overline C=\emptyset \)
    • \( C\cap\overline D=\emptyset\implies D\cap\overline C\subseteq\emptyset \)

      Prueba: tomemos un \( x\in D\cap\overline C \). Por definición de intersección y complementario, esto equivale a \( x\in D\wedge x\not\in C \). Sabemos que la hipótesis es \( x\not\in D\wedge x\in C \), lo cual es una contradicción, entonces \( x\in\emptyset \), y así \( D\cap\overline C\subseteq\emptyset \).
    • \( C\cap\overline D=\emptyset\implies\emptyset\subseteq D\cap\overline C \)

      La prueba es trivial, puesto que el vacío está incluido en cualquier conjunto, por tanto \( \emptyset\subseteq D\cap\overline C \).

    De esta manera, \( C\cap\overline D=\emptyset\implies D\cap\overline C=\emptyset \).

  • \( D\cap\overline C=\emptyset\implies C\cap\overline D=\emptyset \)

    Muy similar al punto (1). ¿Lo podés hacer vos sola?

Como \( (1)\implies(2) \) y \( (2)\implies(1) \), por una conocida propiedad \( (1)\iff(2) \), que es lo que queríamos probar.
[cerrar]

Nos piden probar que

\( (C-D)\cap(D-C)=\emptyset. \)

Por definición \( A-B=A\cap\overline B \), entonces el lado izquierdo es

\( (C\cap\overline D)\cap(D\cap\overline C). \)

Separemos en dos casos:

  • \( (C\cap\overline D)\cap(D\cap\overline C)\subseteq\emptyset \).
  • \( \emptyset\subseteq(C\cap\overline D)\cap(D\cap\overline C) \).

Probemos la primera inclusión. Tomemos un \( x\in(C\cap\overline D)\cap(D\cap\overline C) \). Como \( \cap \) es asociativa podemos eliminar los paréntesis: \( x\in C\cap\overline D\cap D\cap\overline C. \) Como \( \overline A\cap A=\emptyset \), entonces \( x\in C\cap\emptyset\cap\overline C. \)

Creo que ahora podés terminar vos. Recordá que tenés que llegar a que esta última expresión es igual a \( x\in\emptyset \).

Para probar (2) es inmediato, puesto que el vacío está contenido en cualquier conjunto. Por tanto, como \( (1)\subseteq(2) \) y \( (2)\subseteq(1) \) concluimos que \( (1)=(2) \).

Saludos

Mods
Título cambiado de "demostrar que dos conjuntos son disjuntos" a "Demostrar que \(C-D\) y \(D-C\) son disjuntos para todo \(C\) y \(D\)".
[cerrar]

EDIT

22 Febrero, 2019, 07:32 pm
Respuesta #2

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola compañeros, tengo esta demo que no entiendo... alguna idea?


Hola, natydlv.

A ver si te podría servir así:

\( (C-D)\,|\, x\in C\wedge x\notin D
  \); y análogamente \( (D-C)\,|\, x\in D\wedge x\notin C
  \);

(Bueno, se entiende que esto está resumido, delante llevaría el existe x dos puntos... etc.)

entonces \( (C-D)\cap(D-C)\,|\, x\in(C-D)\wedge x\in(D-C)\Rightarrow x\in C\wedge x\in D
  \); pero entonces no existe “x”, por contradicción con lo anterior.

Saludos.

22 Febrero, 2019, 08:09 pm
Respuesta #3

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,991
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola feriva

A ver si te podría servir así:

\( (C-D)\,|\, x\in C\wedge x\notin D
  \); y análogamente \( (D-C)\,|\, x\in D\wedge x\notin C
  \);

entonces \( (C-D)\cap(D-C)\,|\, x\in(C-D)\wedge x\in(D-C)\Rightarrow x\in C\wedge x\in D
  \); pero entonces no existe “x”, por contradicción con lo anterior.

Creo que es lo mismo que he comentado yo, pero creo que te falta probar la otra inclusión i.e. que si \( x\in\emptyset \) entonces... porque al tratarse de probar una igualdad de conjuntos debemos probar la inclusión en ambos sentidos. De hecho, no importa que digamos \( x\in\emptyset \) o que eso es un absurdo; son dos cosas iguales, a efectos de probar una inclusión.

De todas maneras, creo que tu explicación es más clara que la mía :).

Saludos

22 Febrero, 2019, 08:29 pm
Respuesta #4

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,991
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

\( \forall{x}:x\in{(C-D)}\Rightarrow{x\in{(C\cap{Dcomplemento)}}}\Rightarrow{x\in{C\wedge x\in{Dcomplemento}}}\Rightarrow{x\in{C\wedge x\not\in{D}}}\Rightarrow{x\in{C}} \)

luego por razonamiento similar tomo \( x\in{(D-C)}\Rightarrow{x\in{D}} \)

luego puedo decir que la intersección entre ambos conjuntos es vacía.... \( (C-D)\cap{(D-C)}=\emptyset \)

¿Por qué podés afirmar que la intersección entre \( C \) y \( D \), \( C\cap D \), es vacía?

Yo creo que tenés que traducir lo que el enunciado dice: como dice que \( C-D \) (\( A \)) y \( D-C \) (\( B \)) son disjuntos, luego \( (C-D)\cap(D-C)=\emptyset \) (\( A\cap B=\emptyset \)).

Saludos

22 Febrero, 2019, 08:58 pm
Respuesta #5

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola feriva

A ver si te podría servir así:

\( (C-D)\,|\, x\in C\wedge x\notin D
  \); y análogamente \( (D-C)\,|\, x\in D\wedge x\notin C
  \);

entonces \( (C-D)\cap(D-C)\,|\, x\in(C-D)\wedge x\in(D-C)\Rightarrow x\in C\wedge x\in D
  \); pero entonces no existe “x”, por contradicción con lo anterior.

Creo que es lo mismo que he comentado yo, pero creo que te falta probar la otra inclusión i.e. que si \( x\in\emptyset \) entonces... porque al tratarse de probar una igualdad de conjuntos debemos probar la inclusión en ambos sentidos. De hecho, no importa que digamos \( x\in\emptyset \) o que eso es un absurdo; son dos cosas iguales, a efectos de probar una inclusión.

De todas maneras, creo que tu explicación es más clara que la mía :).

Saludos

Buenas noches (por aquí noches) manooooh.

Es que he preferido decir pocas cosas, porque cuantas menos cosas diga, menos meto la pata :)

Tu prueba seguro que es más como tiene que ser, mejor que te haga caso a ti.

Saludos.

22 Febrero, 2019, 10:47 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,097
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Demostrar que \( C-D \) y \( D-C \) son disjuntos para todo conjunto C y D

Supongamos, por reducción al absurdo, que los dos conjuntos no son disjuntos. Esto significa que existe un \( x \) que está en los dos, es decir, \( x\in C\setminus D \) y \( x\in D\setminus C \). Por la primera parte, \( x\in C \) y por la segunda, \( x\notin C \). Como esto es imposible, los conjuntos son disjuntos.

Y ya está.