Autor Tema: Compacidad y cerrados

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22 Febrero, 2019, 05:36 pm
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RodriStone

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Sea \( K \subseteq{}\mathbb{R^n} \) un conjunto compacto.
Si \( K \supset{}A_1\supset{}A_2\supset{}A_3 \supset{}...\supset{}A_n\supset{}\ldots  \)..., con \( A_n \) cerrado \( \forall{} n \) natural .
Probar que se pueden tener una de las dos cosas:

 o bien \( \exists n_0 \) tal que \( A_{n_0}=\emptyset \)
 o bien \( \cap A_n\neq \emptyset \)
 
Necesito ayuda, me trabé usando cubrimientos por abiertos; díganme si hay alguna forma más directa.


22 Febrero, 2019, 08:38 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Cuando escribas no pongas todo entre [tex][/tex]; sólo las fórmulas. Mira como lo hice al corregir tu mensaje:

Spoiler
Sea [tex]K \subseteq{}\mathbb{R^n}[/tex] un conjunto compacto.
Si [tex]K \supset{}A_1\supset{}A_2\supset{}A_3 \supset{}...\supset{}A_n\supset{}\ldots [/tex]..., con [tex]A_n[/tex] cerrado [tex]\forall{} n[/tex] natural .
Probar que se pueden tener una de las dos cosas:

 o bien [tex]\exists n_0[/tex] tal que [tex]A_{n_0}=\emptyset[/tex]
 o bien [tex]\cap A_n\neq \emptyset[/tex]
 
Necesito ayuda, me trabé usando cubrimientos por abiertos; díganme si hay alguna forma más directa.
[cerrar]

 Simplemente si \( \cap A_n=\emptyset \) comprueba que la familia \( B_k=K-A_k \) es un subrecubrimiento por abiertos de \( K \). Por ser compacto puedes extraer un subrecubrimiento finito \( B_1,B_2,\ldots,B_{n_0} \). Dado que cada \( B_i\subset B_{i+1} \) deduce que \( B_{n_0}=K \) y por tanto \( A_{n_0}=\emptyset \).

Saludos.