Autor Tema: Topología relativa

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21 Febrero, 2019, 09:56 pm
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nico

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Hola, en cuanto a la definición de topología relativa, quiero poder entenderla bien.

Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico e \( Y\subset{}X \) (Y un subconjunto de X) , se llama topología relativa en \( Y \) a


\( \tau_u =\{ U \cap{}Y : U \in\tau\} \) ¿acá U son abiertos de la topología tau? ¿son todos los abiertos?


Quisiera ver si pueden plantear un ejemplo para poder entender mejor. Yo intenté considerar con la topología de los complementos finitos, pero me quedé medio trancado.


Gracias.


Saludos

22 Febrero, 2019, 08:37 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, en cuanto a la definición de topología relativa, quiero poder entenderla bien.

Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico e \( Y\subset{}X \) (Y un subconjunto de X) , se llama topología relativa en \( Y \) a


\( \tau_u =\{ U \cap{}Y : U \in\tau\} \) ¿acá U son abiertos de la topología tau? ¿son todos los abiertos?

Es muy sencillo los abiertos de \( Y \) con la topología relativa heredada de \( X \) son los abiertos de \( X \) intersecados con \( Y \).

Citar
Quisiera ver si pueden plantear un ejemplo para poder entender mejor. Yo intenté considerar con la topología de los complementos finitos, pero me quedé medio trancado.

Como primer ejemplo lo más sencillo es pensar en \( X=\mathbb{R} \) con la topología usual.

Entonces supón que \( Y=\{1\}\cup [2,4) \).

En ese caso por ejemplo los conjuntos \( \{1\},[2,3),(3,4),\{1\}\cup [2,3) \) son abiertos por ser intersección de abiertos de la topología usual de \( \mathbb{R} \) con \( Y \):

\( \{1\}=\color{blue}(0,2)\color{black}\cap Y \)
\( [2,3)=\color{blue}(1,3)\color{black}\cap Y \)
\( (3,4)=\color{blue}(3,4)\color{black}\cap Y \)
\( \{1\}\cup [2,3)=\color{blue}(0,3)\color{black}\cap Y \)

Saludos.

22 Febrero, 2019, 03:08 pm
Respuesta #2

nico

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Hola, Luis.

Muy clarita tu explicación, cómo siempre.

Muchas gracias.

Estuve un poco pensando en el ejemplo que me propusiste, como demuestro que esta topología relativa es efectivamente una topología, entonces, me planteo lo siguiente:

1) el vación pertenece a \( \tau_R \) dado que por ejemplo considero un abierto de la topología usual (5,6) , la interseccíon con Y es el vacío que pertenece a la topología relativa.

Para el caso en todo el subconjunto Y está en la topología relativa (acá tengo dudas)
2) Para el caso de uniones arbitarias, surge que están en la  topología relativa.
3) En cuanto a la intersección de familias de \( U \cap{}Y \) estan en la topología relativa.


Mis dos grandes dudas son en cómo justificar que el conjunto vacío está en la topología relativa y la otra duda es en el conjunto a considerar ¿es Y?

No se si se entienden las dudas.


Saludos

22 Febrero, 2019, 04:51 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Estuve un poco pensando en el ejemplo que me propusiste, como demuestro que esta topología relativa es efectivamente una topología, entonces, me planteo lo siguiente:

Antes de nada para probar que la topología relativa es efectivamente una topología no hace falta que lo razones para un ejemplo concreto. No se gana nada. Es igual de fácil hacerlo en general.

Citar
1) el vación pertenece a \( \tau_R \) dado que por ejemplo considero un abierto de la topología usual (5,6) , la interseccíon con Y es el vacío que pertenece a la topología relativa.

Más fácil y más general. El vacío es abierto con la topología de \( X \) (sea la usual u otra) y \( \emptyset\cap Y=\emptyset \).

Citar
Para el caso en todo el subconjunto Y está en la topología relativa (acá tengo dudas)

Simplemente \( Y=X\cap Y \) (nota que \( X \) es abierto en \( X \)).

Citar
Mis dos grandes dudas son en cómo justificar que el conjunto vacío está en la topología relativa y la otra duda es en el conjunto a considerar ¿es Y?

No entiendo la segunda pregunta. ¿A qué te refieres con el conjunto a considerar?.

Saludos.

22 Febrero, 2019, 05:43 pm
Respuesta #4

nico

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Para definir si un subconjunto es una topología, pero me confundí en la interpretación de la definición.

Muchas gracias