Autor Tema: Isomorfismo entre espacios de homomorfismos

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20 Febrero, 2019, 17:03
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amaranthgf

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Dado este teorema, me gustaría saber si es correcta mi deducción o estoy definiéndolo mal.

Sea \[ f:E \longrightarrow F  \] aplicación k-lineal entre K-e.v. de dimensión finita,
entonces \[ f^{**} = f \], donde \[ f^{**} \] denota la aplicación lineal dual de
\[ f^{*} \]. Es decir:
\[ \exists h : Hom_K(E^{**},F^{**}) \longrightarrow Hom_K(E,F) \] isomorfismo tal que
\[ g^{**}\longrightarrow h(g^{**}) = \phi_F^{-1} \circ g^{**} \circ \phi_E \]

Hemos probado en los apuntes que la función h está bien definida. Falta probar que es una
aplicación, que es k-lineal y que es biyectiva. Vamos a ver las dos primeras:

Queremos probar que dados \[ g^{**},{g^{**}}' \in Hom_K(E^{**},F^{**}) \],
con \[ g^{**} = {g^{**}}' \],
entonces llevan a la misma imagen, es decir \[ h(g^{**}) = h({g^{**}}') \].
Para ello tomamos unos elementos \[ w,w' \in F \], \[ e,e' \in E \]:

\[ h(g^{**})(e)(w) = \phi_F^{-1} \circ g^{**} \circ \phi_E (e)(w) =
\phi_F^{-1} ( g^{**} \circ \phi_E (e)(w)) = \phi_F^{-1} (\phi_E (g(e)(w)))=
\phi_F^{-1} (w g(e))  = g(e) \]

Igual para e' y w'. Entonces como tenemos que g es aplicación, se cumple.

21 Febrero, 2019, 04:23
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Queremos probar que dados \[ g^{**},{g^{**}}' \in Hom_K(E^{**},F^{**}) \],
con \[ g^{**} = {g^{**}}' \],
entonces llevan a la misma imagen, es decir \[ h(g^{**}) = h({g^{**}}') \].
Para ello tomamos unos elementos \[ w,w' \in F \], \[ e,e' \in E \]:

\[ h(g^{**})(e)(w) = \phi_F^{-1} \circ g^{**} \circ \phi_E (e)(w) =
\phi_F^{-1} ( g^{**} \circ \phi_E (e)(w)) = \phi_F^{-1} (\phi_E (g(e)(w)))=
\phi_F^{-1} (w g(e))  = g(e) \]

Igual para e' y w'. Entonces como tenemos que g es aplicación, se cumple.

Pero no entiendo lo que haces ahí; has definido perfectamente cual es la imagen de \[ g^{**} \] por \[ h \]. En ningún caso puede ocurrir que el mismo elemento tenga dos imágenes distintas. No tiene sentido esa comprobación.

Ese tipo de comprobaciones tienen sentido cuando estás trabajando en un espacio cociente y para definir la imagen de una clase de equivalencia escoges un representante del mismo; entonces hay que ver que la imagen no depende del representante elegido.

Saludos.