Autor Tema: Subaditividad

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05 Abril, 2018, 03:54 pm
Respuesta #20

Quema

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No estoy de acuerdo, lo que está fallando, creo, es que la condición \( w(b)=2w(b/2) \) es condición necesaria y además suficiente para subaditividad.


Es

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b) \) para todo \( x\in [0,b] \), pero

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2) \) para todo \( x\in [0,b/2] \)

Fíjate en el gráfico.


05 Abril, 2018, 04:16 pm
Respuesta #21

Luis Fuentes

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Hola

No estoy de acuerdo,

No entiendo nada. No sé exactamente con lo que no estás de acuerdo.

Citar
lo que está fallando, creo, es que la condición \( w(b)=2w(b/2) \) es condición necesaria y además suficiente para subaditividad.

Es

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b) \) para todo \( x\in [0,b] \), pero

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2) \) para todo \( x\in [0,b/2] \)

No entiendo que quieres decir. ¿Cuándo dices: "es ... una condición para \( x\in [0,b] \) pero... otra condición para \( x\in [0,b/2] \)?. Esas condiciones son para garantizar... ¿qué cosa?.

Desde luego y según el Teorema 3 del Trabajo de Bruckner para garantizar la subaditividad en \( [0,b] \) (que es lo que queremos) necesitamos que:

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b) \) para todo \( x\in [0,b] \)

Tu otra condición es mucho más débil porque \( w(b)>w(b/2) \).

Citar
Fíjate en el gráfico.

No sé que quieres decirme con ese gráfico.

Si estamos escogiendo \( b \) tal que \( 2w(b/2)=w(b) \) desde luego en \( x=b/2 \) se cumple \( w(b-x)+w(x)\geq w(b) \) (se cumple la igualdad). En el gráfico parece que es "un poquito" negativa; eso puede ser bien porque no estás cogiendo el valor exacto de b o bien porque a veces (y ojo con eso) el Mathematica no pone el eje en \( y=0 \).

Saludos.

05 Abril, 2018, 05:28 pm
Respuesta #22

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Si, tienes razón, déjame pensarlo. De todas formas, me interesaría ver un contraejemplo donde a pesar que \( w(b)=2w(b/2), \) \( w \) no sea subaditiva en \( [0,b] \)

05 Abril, 2018, 07:46 pm
Respuesta #23

Luis Fuentes

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Hola

Si, tienes razón, déjame pensarlo. De todas formas, me interesaría ver un contraejemplo donde a pesar que \( w(b)=2w(b/2), \) \( w \) no sea subaditiva en \( [0,b] \)

Pero precisamente nosotros estamos intentando demostrar que no hay tal contraejemplo; que la condición  \( w(b)=2w(b/2), \) es suficiente para garantizar la subaditividad en \( [0,b] \).

Y parece que va a cumplirse.




En está gráfica está representado:

\( w(b-p)+w(p)-w(b) \)

con \( w(p)=e^{-(-log(p))^a} \), \( a\in [0,1] \) y para cada \( a \), \( b \) tal que \( 2w(b/2)=w(b) \) y parece que siempre da positivo.

Saludos.

05 Abril, 2018, 09:12 pm
Respuesta #24

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Puede ser también que estemos dentro de las condiciones del test de Boas, ver adjunto. 

Además, me llama la atención que estos tests no utilicen el dato del punto de inflexión.
En nuestro caso tenemos que estudiar el signo de

\( T(x)=w(b-x)+w(x)-w(b) \) para \( x\in[0,b/2] \)

\( T''(x)=w''(b-x)+w''(x) \) y los intervalos de interés son

\( A=(0,1/e),B=[1/e,b/2],C=[b-1/e,b] \) y de esa forma estudiar la concavidad

06 Abril, 2018, 11:24 am
Respuesta #25

Luis Fuentes

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Hola

Puede ser también que estemos dentro de las condiciones del test de Boas, ver adjunto. 

Además, me llama la atención que estos tests no utilicen el dato del punto de inflexión.

No entiendo que quieres decir con lo del dato del punto de inflexión. ¿Qué dato? ¿Y en que sentido un test lo usa y otro no?.

Citar
En nuestro caso tenemos que estudiar el signo de

\( T(x)=w(b-x)+w(x)-w(b) \) para \( x\in[0,b/2] \)

\( T''(x)=w''(b-x)+w''(x) \) y los intervalos de interés son

\( A=(0,1/e),B=[1/e,b/2],C=[b-1/e,b] \) y de esa forma estudiar la concavidad

No entiendo porque consideras esa función \( T(x) \). ¿Qué tiene que ver con el test de Boas?. ¿No tendríamos que intentar aplicarlo a \( w(x) \)?.

Saludos.

06 Abril, 2018, 08:29 pm
Respuesta #26

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Una forma de probar que una función \( f \) es subaditiva con \( x>0 \) es que \( \displaystyle\frac{f(x)}{x} \) no sea creciente.

Para nuestra función, como \( w'(p)=f'(p)w(p) \) con \( f(p)=-(-lnp)^a \)

Entonces debemos probar que \( w'(p)\leq{\displaystyle\frac{w(p)}{p}} \) o lo que es lo mismo

\( f'(p)p\leq{}1. \)

Ahora,

\( f'(p)p=af(p)(-lnp)^{a-1}. \)

En alguna parte tiene que aparecer la condición \( w(b)=2w(b/2). \)

En algo falla éste método pq tendría que ser subaditiva para un \( b\approx{}0.977 \) y la raíz de \( f'(p)p-1 \) es bastante menor a ese valor. Capaz que el método es válido, pero no halla el intervalo máximo para el cual la función es subaditiva.



28 Enero, 2019, 06:42 pm
Respuesta #27

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Hola

En esta pregunta más abajo, Luis Fuentes dice que parece ser que la función \( w(p)=e^{-(-log(p))^a} \) es subaditiva en \( [0,b] \) para todo \( a \in (0,1] \) con \( 2w(b/2)=w(b). \)

Me interesa verificar si el máximo intervalo de subaditividad se da en \( [0,b] \) o puede serlo para un intervalo menor. Necesito tener certeza, y no "me parece". La respuesta la necesito lo más analítica posible.

Lo mismo para estas funciones:

i) Una versión más general que la anterior

\( w(p)=e^{-\beta(-\ln p)^{\alpha}} \) con \( \alpha \in (0,1], \beta>0. \)

ii) \( w(p)=\frac{p^{\gamma}}{[p^{\gamma}+(1-p)^{\gamma}]^{\alpha}} \) con \( 0<\gamma<1, \alpha>0. \)

Saludos