Autor Tema: Todo conjunto de medida nula tiene interior vacío?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

20 Febrero, 2019, 05:54 am
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lcdeoro

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¿Todo conjunto de medida nula tiene interior vacío? tengo esa duda y cómo más o menos sería una prueba?

20 Febrero, 2019, 08:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

¿Todo conjunto de medida nula tiene interior vacío? tengo esa duda y cómo más o menos sería una prueba?

Si (con la medida de Lebesgue). Si tiene interior no vacío contiene una bola abierta; y una bola abierta tiene medida no nula.

Saludos.

21 Febrero, 2019, 11:29 pm
Respuesta #2

lcdeoro

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Si lo escribiera en forma de demostración estaría bien así:

Razonando por negación.

Sea \( D \) un conjunto con interior no vacío, luego existe una bola abierta \( B \)  tal que \( B\subseteq{D}, \ B\neq{\emptyset} \)

Pero toda bola abierta tiene medida no nula, entonces \( D \) tiene medida no nula, por consiguiente se tiene que para todo conjunto conjunto de medida nula tiene interior vacío.

22 Febrero, 2019, 07:45 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Si lo escribiera en forma de demostración estaría bien así:

Razonando por negación.

Sea \( D \) un conjunto con interior no vacío, luego existe una bola abierta \( B \)  tal que \( B\subseteq{D}, \ B\neq{\emptyset} \)

Pero toda bola abierta tiene medida no nula, entonces \( D \) tiene medida no nula, por consiguiente se tiene que para todo conjunto conjunto de medida nula tiene interior vacío.

Si; en esa última parte usas que \( B\subset D\quad \Rightarrow{}\quad m(B)\leq m(D) \) y que por ser bola abierta \( m(B)>0 \).

Saludos.