Autor Tema: Ejercicio de integrales y un conjunto de medida nula

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20 Febrero, 2019, 05:51 am
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lcdeoro

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Dadas \( f,g:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \) integrables. Sea \( X=\left\{{x\in{[a,b]; \ f(x)\neq{g(x)}}}\right\} \). Si \( X \) tiene medida nula entonces \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x), dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x), dx \)

Dmst: Consideremos la función \( h=f-g \) y las funciones \( h^+=max\left\{{h,0}\right\} \) y \( h^-=-min\left\{{h,0}\right\} \).

Entonces \( h^+(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}} \) y \( h^-(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}} \). Además

\( \left\{{x\in{[a,b]}: \ h^+(x)>0}\right\}\subseteq{}\left\{{x\in{[a,b]}: \ h(x)\neq{0}}\right\}\subseteq{X} \) luego tiene medida cero, entonces \( h^+ \) es integrable y \( \displaystyle\int_{a}^{b}h^+(x)=0 \)

Analogamente podemos decir que \( h^- \) es integrable y \( \displaystyle\int_{a}^{b}h^-(x)=0 \), emtonces \( h=h^+-h^- \) es integrable en [a,b] y \( \displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=0 \)

Como \( f=g+h \) y \( g=f-h \) se tiene que \( f \) es integrable si y solo si \( g \) lo es, y \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)+\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \)

Qué tal ?

20 Febrero, 2019, 09:55 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Dadas \( f,g:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \) integrables. Sea \( X=\left\{{x\in{[a,b]; \ f(x)\neq{g(x)}}}\right\} \). Si \( X \) tiene medida nula entonces \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x), dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x), dx \)

Dmst: Consideremos la función \( h=f-g \) y las funciones \( h^+=max\left\{{h,0}\right\} \) y \( h^-=-min\left\{{h,0}\right\} \).

Entonces \( h^+(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}} \) y \( h^-(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}} \). Además

\( \left\{{x\in{[a,b]}: \ h^+(x)>0}\right\}\subseteq{}\left\{{x\in{[a,b]}: \ h(x)\neq{0}}\right\}\subseteq{X} \) luego tiene medida cero, entonces \( h^+ \) es integrable y \( \displaystyle\int_{a}^{b}h^+(x)=0 \)

Analogamente podemos decir que \( h^- \) es integrable y \( \displaystyle\int_{a}^{b}h^-(x)=0 \), emtonces \( h=h^+-h^- \) es integrable en [a,b] y \( \displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=0 \)

Como \( f=g+h \) y \( g=f-h \) se tiene que \( f \) es integrable si y solo si \( g \) lo es, y \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)+\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \)

Está bien; aunque para evaluar la adecuación del argumento habría que saber exactamente en qué resultados previos puedes apoyarte.

Estás usando la linealidad de la integral y que la integral de una función positiva con soporte en un conjunto de medida cero es nula. Si ya tienes probado eso (es razonable que sea así), perfecto.

Saludos.