Autor Tema: Demostración sobre integrales

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20 Febrero, 2019, 05:04 am
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lcdeoro

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Reescribo el ejercicio, dice:

Sea \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \) no negativa, acotada. Probar que \( \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx=sup \displaystyle \int_{a}^{b} \beta(x)\, dx  \) donde \( \beta \) recorre el conjunto de las funciones tales que \( \beta(x)\leq{f(x)} \) para todo \( x\in{[a,b]} \). Mostrar que un resultado análogo vale si tomamos \( \beta \) continua o \( \beta \) integrable. (Manteniendose la hipótesis de que \( \beta(x)\leq{f(x)} \) para todo \( x\in{[a,b]} \).


Por el momento solo tendría de donde iniciar y es que:   \( \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx= inf \ S(f,P) \) donde \( P \) es una partición de \( [a,b] \)

alguien me puede dar una idea de como desarrollar el ejercicio?

21 Febrero, 2019, 02:47 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

No entiendo el símbolo \( \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx \) ese subrayado que significa o hay un error tipográfico.

Saludos

22 Febrero, 2019, 12:24 am
Respuesta #2

lcdeoro

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Se trata de la integral inferior.

Creo tengo una idea de hacer una parte y seria así:

Sabemos que como \( g(x)\leq{f(x)} \) entonces \( \displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)} \), pero no sé si el enunciado esta mal, porque yo pienso que aquí debería usar la integrabilidad de \( g \) para decir que

\( \displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)} \) luego \(  sup \displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)} \)

No estoy muy convencido de lo que acabo de hacer, y también me faltaría probar la otra desigualdad.

Alguna ayuda.

22 Febrero, 2019, 10:34 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Creo tengo una idea de hacer una parte y seria así:

Sabemos que como \( g(x)\leq{f(x)} \) entonces \( \displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)} \), pero no sé si el enunciado esta mal, porque yo pienso que aquí debería usar la integrabilidad de \( g \) para decir que

\( \displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)} \) luego \(  sup \displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)} \)

Está bien entendiendo que lo que llamas \( g(x) \) es lo que el enunciado llama \( \beta(x) \) y cuando igualas la integral inferior y la "normal" de \( g(x) \) puede hacerse porque la función \( g(x) \) es integrable.

Para terminar tienes que probar que dado \( \epsilon>0 \) existe una función \( g(x) \) integrable y menor que \( f(x) \) tal que:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon \)

Pero por definición de integral inferior existe una partición inferior \( P=\{x_0=a,x_1,\ldots,x_n=b\} \) del intervalo \( [a,b] \) tal que \( L(f,p)>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon \)

Si tomas:

\( g(x)=inf\{f(x)|x\in[x_i,x_{i+1}]\} \) cuando \( x\in [x_i,x_{i+1}) \)

se tiene que \( g(x)\leq \color{red}f(x)\color{black} \) y \( L(f,p)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx. \)

Saludos.

CORREGIDO

23 Febrero, 2019, 05:30 am
Respuesta #4

lcdeoro

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Para terminar tienes que probar que dado \( \epsilon>0 \) existe una función \( g(x) \) integrable y menor que \( f(x) \) tal que:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon \)

Pero por definición de integral inferior existe una partición inferior \( P=\{x_0=a,x_1,\ldots,x_n=b\} \) del intervalo \( [a,b] \) tal que \( L(f,p)>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon \)

Si tomas:

\( g(x)=inf\{f(x)|x\in[x_i,x_{i+1}]\} \) cuando \( x\in [x_i,x_{i+1}) \)

se tiene que \( g(x)\leq g(x) y L(f,p)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx. \)


A ver si entendí, \( L(f,p) \) es la suma inferior de \( f \) en \( P \), y sabemos que \( L(f,p)>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon \) lo que sería equivalente a decir que \( \left |{L(f,p)-\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx}\right |<\epsilon \)


Si tomamos:

\( g(x)=inf\{f(x)|x\in[x_i,x_{i+1}]\} \) cuando \( x\in [x_i,x_{i+1}) \) entonces

\( g(x)\leq g(x) \) no entiendo esta parte, se supone que sabemos que eso se cumple, o tal vez quisite decir que  \( g(x)\leq f(x) \) y además \( L(f,p)=\displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx \).

Luego tendríamos que \( \left |{\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\, dx - \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx}\right |<\epsilon \)

\( \Longrightarrow{}\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx\leq{}\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx \)

Luego combinando ambas desigualdades tendriamos la igualdad.

??

25 Febrero, 2019, 08:42 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

\( g(x)\leq g(x) \) no entiendo esta parte, se supone que sabemos que eso se cumple, o tal vez quisite decir que  \( g(x)\leq f(x) \)

¡Claro! Fue una errata.

Citar
Luego tendríamos que \( \left |{\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\, dx - \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx}\right |<\epsilon \)

\( \Longrightarrow{}\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx\leq{}\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx \)

No; esa última afirmación está mal. Lo que se deduce es que:

\( \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx\leq{}\color{red}sup\color{black}\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx \)

donde el supremo es sobre las funciones \( g(x) \) integrables cumpliendo \( g\leq f \).

Saludos.