Autor Tema: Tema Divisibilidad Aritmética

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13 Febrero, 2019, 02:41 am
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Francois

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Buenas.

Entiendo que este problema  es una secuencia . Pero como podría saber cuantos a y unos hay.
Aparentemente pareciera que debe terminar en 1. Pero cuál es el razonamiento?


Pregunta
Dado el número \[ \overline{1a11a111a1111a} \] ( \[ 90 \] cifras).
Determinar el valor de a de modo que dicho número sea divisible por 9.


Saludos!

13 Febrero, 2019, 04:41 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola


Buenas.

Entiendo que este problema  es una secuencia . Pero como podría saber cuantos a y unos hay.
Aparentemente pareciera que debe terminar en 1. Pero cuál es el razonamiento?


Pregunta
Dado el número \[ \overline{1a11a111a1111a} \] ( \[ 90 \] cifras).
Determinar el valor de a de modo que dicho número sea divisible por 9.

Cuenta cuantos bloques \[ 1\ldots1a \] hay hasta la cifra \[ 90 \]. Fíjate que cada bloque es una unidad más que el anterior luego, supuesto que el último bloque es de longitud \[ n \],  hay que sumar para la longitud total:

\[ 2+3+4+\ldots+n=\dfrac{2+n}{2}\cdot (n-1)=\dfrac{n^2+n-2}{2} \]

supuesto que el último bloque es de longitud \[ n \].

Resolviendo \[ \dfrac{n^2+n-2}{2}=90 \] obtienes \[ n=13 \].

Por tanto hay \[ 13-2+1=12 \] bloques y así \[ 12 \] aes y \[ 90-12=78 \] unos.

Para que sea divisible por nueve tiene que cumplirse que:

\[ 12a+78=0\,mod\,9 \]

Equivalentemente:

\[ 3a+6=0\,mod\,9 \]
\[ a+2=0\,mod\,3 \]

Por tanto \[ a=1,4,7 \].

Saludos.

13 Febrero, 2019, 05:47 am
Respuesta #2

feriva

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Hola. Llego tarde a responder pero lo dejo spoiler ya que lo he hecho.

Spoiler

La cantidad de cifras se puede representar por \[ (1)+1+(1)+2+(1)+3...=90
  \] suponiendo que haya la misma cantidad de aes que de segmentos de sumas de unos, o sea, \[ (n)+\dfrac{n(n+1)}{2}=90\Rightarrow n^{2}+3n-180=0
  \]; donde con “(n)” también hago ver la cantidad de aes (1)+(1)+(1)...

Entonces

\[ n=\dfrac{-3+\sqrt{9-4(-180)}}{2}=12
  \].

Así pues, la suma sin las aes sería \[ \dfrac{12(12+1)}{2}=78=3\cdot26
  \], que es divisible entre 3, pero no entre nueve.

La ecuación en donde buscar es

\[ 3\cdot26+3\cdot(4a)=9k\Rightarrow26+4a=3k
  \]

La ecuación diofántica es entonces

\[ 3k-4a=26
  \]

donde k tiene que ser par; haciendo k=2x se queda así

\[ 6x-4a=26
  \]

\[ 3x-2a=13
  \]

Las soluciones tienen la forma

a=3t+1; x=2n+5; donde sólo nos interesa la primera. (en la segunda ecuación es "t", no "n", es un despiste)

Al ser cifras, sólo valen los enteros positivos menores que 10. luego “t” puede tomar valores de cero a 2: o sea, 0,1,2.

[cerrar]

Saludos.