Autor Tema: Hermosa igualdad en un triángulo rectángulo

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19 Febrero, 2019, 04:47 am
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GaToMi

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Espero que este problema no lo hayan publicado antes :P

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados \( a, b \) e hipotenusa \( c \). Si \( d \) es la altura de C sobre sobre la hipotenusa AB, demuestra que

\( \displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2} \)

19 Febrero, 2019, 08:58 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados \( a, b \) e hipotenusa \( c \). Si \( d \) es la altura sobre la hipotenusa, demuestra que

\( \displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2} \)

No estoy seguro de entender bien por qué tenemos el dato de \( d \). Tampoco estoy seguro de a lo que se refiere: ¿\( d \) es el segmento que une cualquiera de los dos catetos con la hipotenusa?

Si eso es cierto, entonces creo que es falso. Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan \( 2 \) unidades. Si nos paramos en cualquier cateto y trazamos un segmento que vaya desde la mitad del cateto hasta la hipotenusa, su longitud será \( d=2 \). Pero

\( \displaystyle\frac1{4^2}+\frac1{4^2}=\frac18\neq\frac1{2^2}=\frac14, \)

como se ve en la imagen (que repito, estoy considerando a \( d \) como el segmento que une cualquier punto de cualquiera de los dos catetos hasta la hipotenusa):


Saludos

19 Febrero, 2019, 09:46 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados \( a, b \) e hipotenusa \( c \). Si \( d \) es la altura sobre la hipotenusa, demuestra que

\( \displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2} \)

No estoy seguro de entender bien por qué tenemos el dato de \( d \). Tampoco estoy seguro de a lo que se refiere: ¿\( d \) es el segmento que une cualquiera de los dos catetos con la hipotenusa?

No. \( d \) es la altura sobre la hipotenusa, es decir, el segmento perpendicular a la hipotenusa que la une con el vértice opuesto.



Nótese que la desigualdad buscada equivale a:

\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{d^2} \)

\( \dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac{1}{d^2} \)

\( \dfrac{c^2}{a^2b^2}=\dfrac{1}{d^2} \)

\( d^2c^2=a^2b^2 \)

\( dc=ab \)

Ahora dado que los triángulos \( ABC \) y \( CBE \) son semejantes:

\( \dfrac{\textsf{hipotenusa}}{\textsf{cateto menor}}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{d} \)

Saludos.

19 Febrero, 2019, 10:09 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola Luis

Gracias por la observación.

¿No es que el triángulo \( ABC \) debe ser rectángulo (por hipótesis)? Creo que tu imagen representa a un acutángulo ???.

Por eso mi duda sobre la importancia de \( d \).

Saludos

19 Febrero, 2019, 10:24 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

¿No es que el triángulo \( ABC \) debe ser rectángulo (por hipótesis)? Creo que tu imagen representa a un acutángulo ???.



El ángulo \( C \), el opuesto al lado \( c \), es el de \( 90 \) grados.

Citar
Por eso mi duda sobre la importancia de \( d \).

¿Pero te queda alguna duda sobre quien es \( d \)? Es la altura sobre la hipotenusa.

Saludos.

19 Febrero, 2019, 10:28 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Ninguna duda ya. Tu explicación fue clara.

Confié a primera vista que tu triángulo no era como se pedía. Ya ves que soy malo para las construcciones geométricas (la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos) :(.

Ahora sí, gracias. Esperemos que GaToMi pueda entenderlo.

Saludos

19 Febrero, 2019, 10:39 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Confié a primera vista que tu triángulo no era como se pedía. Ya ves que soy malo para las construcciones geométricas (la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos) :(.

Pero curiosamente parece que eres tu el que te "entregabas" a la figura, en lugar de al razonamiento. El dibujo es bastante exacto porque está hecho con geogebra; pero podría estar mal hecho, a mano; podría ser un dibujo "burdo". Simplemente sirve para orientar. Dado el enunciado uno sabe que la hipotenusa la denotamos por \( c \) y por tanto el ángulo opuesto es el rectángulo.

Uno puede razonar la semejanza de los triángulos indicados, simplemente notando que tienen los mismos ángulos, no hace falta el dibujo. A quien le ayude... mejor.

Saludos.

19 Febrero, 2019, 11:00 am
Respuesta #7

sugata

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(la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos) :(.


Que no te escuche Euclides....
En este mismo subforo de Geometría Euclidea hay demostraciones preciosas sólo con dibujos y/o semejanzas, junto con teoremas muy básicos.

19 Febrero, 2019, 12:06 pm
Respuesta #8

feriva

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la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos

Hola, manooooh. ¿Existe otra forma de probar las cosas que no sea con razonamientos? :)

En el enunciado de GaToMi no hay ninguna figura, tu duda se encontraba inicialmente en que no estabas seguro de cómo se entendía un concepto (en este caso la altura sobre la hipotenusa en el triángulo rectángulo) según se define en el enunciado sin dibujo.
Luego, precisamente ya con el segundo dibujo de Luis (donde ha añadido el cuadradito magenta claro en el ángulo C) es cuando lo has visto; luego la culpa no es de los dibujos, sino de que pueda quedar algo sobreentendido y que en un momento dado uno no caiga en algún aspecto (a mí me lo vas a contar, con la cantidad de veces que me pasan estas cosas :D ). 

Ah, no, que el cuardadito es verde; ¿ves? Si es que no me fijo

Saludos.

19 Febrero, 2019, 03:58 pm
Respuesta #9

GaToMi

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Hola a todos, gracias por responder.

Modifiqué el enunciado para que no haya futuras confusiones  :D