Hola
Hola, si tengo un espacio métrico sé que las bolas abiertas de radio \( \varepsilon \) inducen una topología, mi pregunta es, ¿Inducen la misma topología? ¿Cómo muestro las convenciones?
Por ejemplo las bolas para \( \varepsilon=1 \) y \( \varepsilon=2 \) inducen la misma topología?
No estoy seguro de entender lo que preguntas o tan si quiera si has expesado bien tu idea. ¿Te refieres a fijar un radio y trabajar sólo con la topología que generan esas bolas de radio fijo? Si es así no necesariamente inducen la misma topología.
Por ejemplo si consideras la métrica discreta:
\( d(x,y)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\neq y\\0 & \text{si}& x=y\end{cases} \)
Las bolas de radio \( 1 \) son simplemente puntos: \( B(x,1)=\{x\} \) mientras que las de radio dos son todo el espacio \( B(x,2)=X \). Las primeras generan la topología discreta (todo subconjunto es abierto); la segunda la trivial (los únicos abiertos son el vacío y el total).
Estoy tratando de probar que si \( d \) es una métrica \( d'(x,y)=\min\left\{{d(x,y),1}\right\} \) induce la misma topología .
Esto no tiene que ver con tu pregunta anterior (o no al menos tal y como la he entendido).
Para ver que inducen la misma topología basta que compruebes que para cualquier bola \( B_d(x,r) \) existe una bola \( B_{d'}(x,r')\subset B_d(x,r) \) y viceversa.
Para ello comprueba que:
\( B_{d'}(x,min(r,1))\subset B_d(x,r) \)
\( B_d(x,r)\subset B_{d'}(x,r) \)
Saludos.
