Autor Tema: Bolas abiertas inducen topología.

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12 Febrero, 2019, 11:55 pm
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zimbawe

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Hola, si tengo un espacio métrico sé que las bolas abiertas de radio \( \varepsilon \) inducen una topología, mi pregunta es, ¿Inducen la misma topología? ¿Cómo muestro las convenciones?
Por ejemplo las bolas para \( \varepsilon=1 \) y \( \varepsilon=2 \) inducen la misma topología? Estoy tratando de probar que si \( d \) es una métrica \( d'(x,y)=\min\left\{{d(x,y),1}\right\} \) induce la misma topología .
Muchas gracias.

13 Febrero, 2019, 10:33 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, si tengo un espacio métrico sé que las bolas abiertas de radio \( \varepsilon \) inducen una topología, mi pregunta es, ¿Inducen la misma topología? ¿Cómo muestro las convenciones?
Por ejemplo las bolas para \( \varepsilon=1 \) y \( \varepsilon=2 \) inducen la misma topología?

No estoy seguro de entender lo que preguntas o tan si quiera si has expesado bien tu idea. ¿Te refieres a fijar un radio y trabajar sólo con la topología que generan esas bolas de radio fijo? Si es así no necesariamente inducen la misma topología.

Por ejemplo si consideras la métrica discreta:

\( d(x,y)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\neq y\\0 & \text{si}& x=y\end{cases} \)

Las bolas de radio \( 1 \) son simplemente puntos: \( B(x,1)=\{x\} \) mientras que las de radio dos son todo el espacio \( B(x,2)=X \). Las primeras generan la topología discreta (todo subconjunto es abierto); la segunda la trivial (los únicos abiertos son el vacío y el total).

Citar
Estoy tratando de probar que si \( d \) es una métrica \( d'(x,y)=\min\left\{{d(x,y),1}\right\} \) induce la misma topología .

Esto no tiene que ver con tu pregunta anterior (o no al menos tal y como la he entendido).

Para ver que inducen la misma topología basta que compruebes que para cualquier bola \( B_d(x,r) \) existe una bola \( B_{d'}(x,r')\subset B_d(x,r) \) y viceversa.

Para ello comprueba que:

\( B_{d'}(x,min(r,1))\subset B_d(x,r) \)
\( B_d(x,r)\subset B_{d'}(x,r) \)

Saludos.

13 Febrero, 2019, 11:44 am
Respuesta #2

zimbawe

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Luis gracias, me sacaste de la duda.
Pensaba que para cualquier radio fijo, las bolas abiertas inducian la misma topología.
Respecto a lo de la segunda pregunta:
La segunda contención ya la logré, pero para la primera. No la logro ver del todo, si
\( y \in{B_d'(x,min\left\{{r, 1}\right\}}) \) tengo que probar que \( d(x,y)<min\left\{r, 1\right\} \) ¿O lo estoy tomando mal? Necesito que por favor me eches otra mano, depronto sea obvio pero no lo veo.

13 Febrero, 2019, 12:05 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

No la logro ver del todo, si
\( y \in{B_d'(x,min\left\{{r, 1}\right\}}) \) tengo que probar que \( d(x,y)<min\left\{r, 1\right\} \) ¿O lo estoy tomando mal? Necesito que por favor me eches otra mano, depronto sea obvio pero no lo veo.

No, tienes que probar que si \( y \in{B_d'(x,min\left\{{r, 1}\right\}}) \) entonces \( d(x,y)<r. \)

Fíjate que si \( d'(x,y)<min\{r,1\}\leq 1 \) entonces \( d'(x,y)=d(x,y) \) y así:

\( d(x,y)=d'(x,y)<min\{r,1\}\leq r \)

Saludos.

13 Febrero, 2019, 01:18 pm
Respuesta #4

zimbawe

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