Autor Tema: Pregunta sobre congruencias

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14 Febrero, 2019, 09:12 am
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Fernando Moreno

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Hola. Estoy tratanto de leer/entender a ratos un libro sobre el Último Teorema de Fermat para aficionados y me encuentro que en un momento dado se analiza esto:  " \( x\equiv y \) mod \( 5 \) " .  El autor continua y dice que ahora eleva a la quinta potencia y que por lo tanto:  \( x^5\equiv y^5 \) mod \( 5^2 \) .

Lo que no entiendo es por qué al elevar a la quinta potencia esto significa automáticamente (o trivialmente) que puedo utilizar la congruencia módulo  \( 25 \) ,  además claro de la de  \( 5 \) .

Supongo que la pregunta es un poco tonta, pero más tonto sería quedarse sin averiguarlo teniendo además este maravilloso instrumento que es el Foro de Rinconmatematico.

Un saludo, 
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

14 Febrero, 2019, 09:43 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

La congruencia de la que se parte viene a decir que existe un entero \( k \) tal que \( x=y+5k \). Elevando ambos miembros a \( 5 \) y aplicando en la derecha lo del binomio de Newton se saca enseguida lo que buscas.

Saludos.

14 Febrero, 2019, 10:54 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola. Estoy tratanto de leer/entender a ratos un libro sobre el Último Teorema de Fermat para aficionados y me encuentro que en un momento dado se analiza esto:  " \( x\equiv y \) mod \( 5 \) " .  El autor continua y dice que ahora eleva a la quinta potencia y que por lo tanto:  \( x^5\equiv y^5 \) mod \( 5^2 \) .

Lo que no entiendo es por qué al elevar a la quinta potencia esto significa automáticamente (o trivialmente) que puedo utilizar la congruencia módulo  \( 25 \) ,  además claro de la de  \( 5 \) .

Directamente por el pequeño teorema de Fermat \( x^5\equiv x\quad mod\quad 5 \) (en general \( x^p\equiv p\quad mod\quad p \), para \( p \) primo).

Saludos.

14 Febrero, 2019, 11:23 am
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola. Muchas gracias martiniano y Luis Fuentes.

Para generalizar lo que dice martiniano he de entender entonces que los coeficientes del binomio de Newton de un número primo son siempre múltiplos del mismo ¿no? Así que se podría hacer lo mismo si tengo:  \( x\equiv y \) mod \( 7 \)   \( \Rightarrow{} \)    \( x^7\equiv y^7 \) mod \( 7^2 \) .  Si es así ahora lo entiendo.

Lo que no acabo de ver claro es lo que dice Luis. Lo del Pequeño Teorema de Fermat lo conocía. Si tengo:  \( x^5-y^5\equiv 0 \) mod \( 5 \) ;  tendré:  \( x^5-y^5\equiv x-y\equiv 0 \) mod \( 5 \) .  Sé que  \( x-y \)  es factor de  \( x^5-y^5 \) .  Pero de ahí no veo que automáticamente signifique que  \( 25 \)  divida á  \( x^5-y^5 \) ,  a no ser que desarrolle el otro factor y saque consecuencias.

Un saludo,   
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14 Febrero, 2019, 12:00 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Lo que no acabo de ver claro es lo que dice Luis. Lo del Pequeño Teorema de Fermat lo conocía. Si tengo:  \( x^5-y^5\equiv 0 \) mod \( 5 \) ;  tendré:  \( x^5-y^5\equiv x-y\equiv 0 \) mod \( 5 \) .  Sé que  \( x-y \)  es factor de  \( x^5-y^5 \) .  Pero de ahí no veo que automáticamente signifique que  \( 25 \)  divida á  \( x^5-y^5 \) ,  a no ser que desarrolle el otro factor y saque consecuencias.

Si, perdona estoy tonto. Estaba pensando simplemente en \( x^5=y^5 \) mod \( 5 \), en lugar de mod \( 25 \).

Pero otra forma de verlo. Si \( x=y \) mod \( p \) impar. Entonces:

\( x^p-y^p=(x-y)(x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1}) \)

Entonces por una parte \( x-y \) es múltiplo de \( p \) por hipótesis. Por otro lado como \( x= y \) mod \( p \), el otro factor módulo \( p \) queda:

\( x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1}=x^{p-1}+xx^{p-2}+\ldots+x^{p-1}=px^{p-1}=0 \) mod \( p \)

es decir también es múltiplo de \( p \) y así \( x^p-y^p \) es múltiplo de \( p^2 \).

Saludos.

14 Febrero, 2019, 12:06 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Para generalizar lo que dice martiniano he de entender entonces que los coeficientes del binomio de Newton de un número primo son siempre múltiplos del mismo ¿no? Así que se podría hacer lo mismo si tengo:  \( x\equiv y \) mod \( 7 \)   \( \Rightarrow{} \)    \( x^7\equiv y^7 \) mod \( 7^2 \) .  Si es así ahora lo entiendo.

Sí. Estás en lo cierto.

Un saludo.

14 Febrero, 2019, 12:18 pm
Respuesta #6

Fernando Moreno

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Hola. ¡Muchísimas gracias a los dos!

Pero otra forma de verlo. Si \( x=y \) mod \( p \) impar. Entonces:

\( x^p-y^p=(x-y)(x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1}) \)

Entonces por una parte \( x-y \) es múltiplo de \( p \) por hipótesis. Por otro lado como \( x= y \) mod \( p \), el otro factor módulo \( p \) queda:

\( x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1}=x^{p-1}+xx^{p-2}+\ldots+x^{p-1}=px^{p-1}=0 \) mod \( p \)

es decir también es múltiplo de \( p \) y así \( x^p-y^p \) es múltiplo de \( p^2 \).

¡Esto me encanta!
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