Autor Tema: "Un problema de camaleones"

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14 Febrero, 2019, 04:34 am
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hméndez

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Problema:

En una isla desierta habitan un grupo de camaleones; inmortales, irreproducibles e inescapables; son de color amarillo, negro y marrón
y hay 2001, 3001 y 4001 animalitos de cada color respectivamente.

Cada vez que dos camaleones se topan cara a cara, lo cual nunca sucede entre más de dos camaleones, ocurre lo siguiente:

a) Si son de diferente color, digamos amarillo y negro, entonces los dos se vuelven marrones.

b) Si son del mismo color, digamos amarillo, entonces uno se vuelve negro, y el otro marrón.

Con semejante capricho, ¿podrán algún día los camaleones ser todos del mismo color?.


Argumente su respuesta.

Saludos

14 Febrero, 2019, 08:38 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

En una isla desierta habitan un grupo de camaleones; inmortales, irreproducibles e inescapables; son de color amarillo, negro y marrón
y hay 2001, 3001 y 4001 animalitos de cada color respectivamente.

Cada vez que dos camaleones se topan cara a cara, lo cual nunca sucede entre más de dos camaleones, ocurre lo siguiente:

a) Si son de diferente color, digamos amarillo y negro, entonces los dos se vuelven marrones.

b) Si son del mismo color, digamos amarillo, entonces uno se vuelve negro, y el otro marrón.

Con semejante capricho, ¿podrán algún día los camaleones ser todos del mismo color?.


Una camino.

Spoiler
Sean \( x,y \) el número de camaleones de dos colores \( A \) y \( B \) cualesquiera distintos. Sea \( d \) su diferencia \( d=x-y \):

- Si se encuentran entre si pierden uno cada uno, luego su diferencia \( d \) queda igual.
- Si se encuentran dos de \( A \) entonces \( x \) pierde \( 2 \) e \( y \) gana \( 1 \), luego la diferencia pierde \( 3 \).
- Si se encuentran dos de \( B \) entonces \( y \) pierde \( 2 \) y \( x \) gana \( 1 \), luego la diferencia gana \( 3 \).
- Si se encuentran uno \( A \) y otro de \( C \) entonces \( x \) pierde \( 1 \) e \( y \) gana \( 2 \), luego la diferencia pierde \( 3 \).
- Si se encuentran uno \( B \) y otro de \( C \) entonces \( y \) pierde \( 1 \) y \( x \) gana \( 2 \), luego la diferencia gana \( 3 \).

 Es decir en cualquier posible modificación la diferencia \( d=x-y \) se modifica en un múltiplo de \( 3 \). Por tanto una condición necesaria para que todos sean de un color, es que al menos una de las diferencias entre las cantidades iniciales de camaleones sea múltiplo de \( 3 \).Pero eso no ocurre en nuestro caso. Las diferencias son \( 1000 \) y \( 2000 \).

 Por tanto es imposible que todos acaben siendo de un color.
[cerrar]

Saludos.

17 Abril, 2019, 06:29 am
Respuesta #2

Tachikomaia

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No creo haber entendido el problema, pero...
Spoiler
Si A se cruza con N, entonces quedan M y M. Y había otro M, por lo tanto ya serían 3 M, es decir 3 marrones, 3 del mismo color.

Y no sería el único modo.
Si A se cruza con A (lo cual no está claro si ocurriría desde el inicio porque dijiste que son A, M y N, no que hubiera 2A, lo cual puede asumirse que puede suceder si cambian de color a cada rato, pero qué sé yo, si fuese así entonces la respuesta sería aún más obvia, como preguntar si un número XXX puede salir en la lotería del 0 al 999), entonces quedan N y 2M (supuestamente el 3ero era M, sino no tiene mucha gracia ¿no?). Cuando N y algún M se crucen quedarán 3M.
[cerrar]

Si esto es para una maestrita o maestrito, no le digas que lo resolviste tú.

Edit: Viendo la respuesta del forero anterior imagino que "animalitos" se refiere a los camaleones. Con razón me parecía un dato irrelevante, pero es que animalitos no necesariamente se refiere a camaleones. Y si en la isla "desierta" había camaleones por qué no podía haber otros animalitos también, especialmente si decimos "y (como si se dijese "además") hay... animalitos".