Autor Tema: Coeficientes binomiales al cuadrado

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12 Febrero, 2019, 21:48
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thadeu

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Si \[ n \] es un entero positivo,
Pruebe que. \[  \displaystyle{2n \choose n}= \displaystyle{n \choose 0}^2+ \displaystyle{n \choose 1}^2+ \displaystyle{n \choose 2}^2+...+ \displaystyle{n \choose n}^2 \]

13 Febrero, 2019, 04:25
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Si \[ n \] es un entero positivo,
Pruebe que. \[  \displaystyle{2n \choose n}= \displaystyle{n \choose 0}^2+ \displaystyle{n \choose 1}^2+ \displaystyle{n \choose 2}^2+...+ \displaystyle{n \choose n}^2 \]

Método I:

En general \[ \displaystyle\binom{m}{k} \] son el número de subconjuntos de \[ k \] elementos de un conjunto de \[ m \] elementos.

Si tenemos un conjunto \[ A \] de \[ 2n \] elementos divididos en dos grupos \[ A_1,A_2 \] de \[ n \] elementos cada uno, entonces un subconjunto de \[ A \] de \[ n  \]elementos se construye eligiendo \[ k \] elementos de \[ A_1 \] y \[ n-k \] de \[ A_2 \].

De ahí:

\[ \displaystyle\binom{2n}{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n}{n-k}=
\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n}{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}^2 \]

Método II.

\[ (1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+n)^n \]

Por el Binomio de Newton:

\[ \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{}\displaystyle\binom{2n}{k}x^k=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}x^i\right)
\left(\displaystyle\sum_{j=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{j}x^j\right) \]

Compara los coeficientes de \[ x^n \] de ambos términos.

Método III. Es una caso particular de la identidad de Vandermonde.

\[ \displaystyle\binom{m+n}{r}=\displaystyle\sum_{k=0}^r{}\displaystyle\binom{m}{k}\displaystyle\binom{n}{r} \]

Además de las pruebas que aparecen en el enlace lo puedes demostrar por inducción en \[ N=m+n \].

Saludos.

14 Febrero, 2019, 10:40
Respuesta #2

thadeu

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