Autor Tema: Curvatura en coordenadas polares

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10 Febrero, 2019, 11:51 pm
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Julio_fmat

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Sea \( \rho=\rho(\theta), a\le \theta \le b \) una curva en coordenadas polares. Prueba que la curvatura esta dada por la formula \( \kappa(\theta)=\dfrac{2(\rho')^2-\rho \rho''+\rho^2 }{(\rho^2+(\rho')^2)^{3/2}}. \)

Hola, me pueden ayudar con este problema.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Febrero, 2019, 01:10 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Por favor, indicanos que es lo que intentaste para poder ayudarte mejor.

Sea \( \rho=\rho(\theta), a\le \theta \le b \) una curva en coordenadas polares. Prueba que la curvatura esta dada por la formula \( \kappa(\theta)=\dfrac{2(\rho')^2-\rho \rho''+\rho^2 }{(\rho^2+(\rho')^2)^{3/2}}. \)

¿Cuál es la expresión de la función \( \rho=\rho(\theta) \)? Pensé que era \( \vec\rho(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta) \) pero resulta que tiene que ser un campo escalar, no una función vectorial ???.

Saludos

11 Febrero, 2019, 11:19 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( \rho=\rho(\theta), a\le \theta \le b \) una curva en coordenadas polares. Prueba que la curvatura esta dada por la formula \( \kappa(\theta)=\dfrac{2(\rho')^2-\rho \rho''+\rho^2 }{(\rho^2+(\rho')^2)^{3/2}}. \)

Hola, me pueden ayudar con este problema.

La fórmula de la curvatura para una curva con una parametrización arbitraria \( \alpha(t) \) es:

\( \kappa=\dfrac{det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{\|\alpha'(t)\|^3} \)

No tienes más que aplicarla para:

\( \alpha(t)=\rho(t)(cos(t),sin(t)) \)

Haces las cuentas y sale inmediatamente.

Saludos.