Autor Tema: Valores regulares

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10 Febrero, 2019, 11:36 pm
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Julio_fmat

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Sea \( f(x,y,z)=(x+y+z-1)^2. \)

a) Encuentra los valores regulares de \( f \).

b) Encuentra los valores de \( c \) para los cuales \( f^{-1}(c) \) es una superficie regular.


Hola, para el a). Se supone que debemos derivar para hallar los puntos criticos y el supuesto valor regular. Se tiene, \( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2(x+y+z-1) \). Si igualamos a cero, tenemos el plano \( x+y+z-1=0. \) O sea, los valores regulares de \( f \) son de la forma \( x+y+z-1=0 \)?

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Febrero, 2019, 11:27 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( f(x,y,z)=(x+y+z-1)^2. \)

a) Encuentra los valores regulares de \( f \).

b) Encuentra los valores de \( c \) para los cuales \( f^{-1}(c) \) es una superficie regular.


Hola, para el a). Se supone que debemos derivar para hallar los puntos criticos y el supuesto valor regular. Se tiene, \( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2(x+y+z-1) \). Si igualamos a cero, tenemos el plano \( x+y+z-1=0. \) O sea, los valores regulares de \( f \) son de la forma \( x+y+z-1=0 \)?

Las cuentas están bien, pero la conclusión mal.

Un valor regular de una función diferenciable \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \) es todo punto \( c\in \mathbb{R} \) tal que \( df_p\neq 0 \) para todo \( p\in f^{-1}(c) \).

Entonces en tu caso se deduce que los valores regular son los puntos \( c\neq 0 \), porque si \( (x,y,z)\in f^{-1}(c) \), entonces \( f(x,y,z)=c \), es decir, \( (x+y-z-1)^2=c \). Si \( c\neq 0 \) entonces \( x+y-z-1\neq 0 \) y por tanto la diferencial no se anula en ese punto.

Saludos.