Autor Tema: Si un conjunto tiene dos elementos iguales, ¿qué ocurre con su cardinal?

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28 Enero, 2019, 01:57 am
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manooooh

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Hola!

Seguramente esta es una pregunta muy recurrente y, por tanto, respondida, pero no he sido capaz de encontrarla.

Sea por ejemplo \( A=\{1,1,2\} \). ¿Cuál es el cardinal de \( A \)?

Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos \( |A|=3 \). Sin embargo, esto está mal.

Si nos detenemos a ver los elementos de \( A \), observamos que hay dos elementos repetidos, por lo que \( A=\{1,2\} \). Entonces \( |A|=2 \), que es la respuesta correcta, ¿es así?

Gracias!
Saludos

28 Enero, 2019, 03:16 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola,

El cardinal de A es 2 (a menos que en algún contexto en el que se esté trabajando se tenga \( 1=2 \), en ese caso sería 1). Te puede interesar el concepto de multiconjunto.

28 Enero, 2019, 03:47 am
Respuesta #2

Masacroso

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Hola!

Seguramente esta es una pregunta muy recurrente y, por tanto, respondida, pero no he sido capaz de encontrarla.

Sea por ejemplo \( A=\{1,1,2\} \). ¿Cuál es el cardinal de \( A \)?

Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos \( |A|=3 \). Sin embargo, esto está mal.

Si nos detenemos a ver los elementos de \( A \), observamos que hay dos elementos repetidos, por lo que \( A=\{1,2\} \). Entonces \( |A|=2 \), que es la respuesta correcta, ¿es así?

Gracias!
Saludos

Un conjunto no puede tener elementos repetidos. Otra cosa es que se use la notación \( \{1,1,2\} \) para denotar un multiconjunto, que en tal caso equivaldría al conjunto \( \{(1,2),(2,1)\} \).

28 Enero, 2019, 11:48 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Te doy varios argumentos:

  • 1) Imagina que en una habitación estamos exactamente las personas siguientes:
    • 1) Tú (manooooh)
    • 2) Yo (Carlos Ivorra)
    • 3) Tú (manooooh)
    ¿Cuántas personas dirías que hay en la habitación? Un conjunto es el que es. Independientemente de cómo lo nombres o de cómo presentes sus elementos.

  • 2) Lo que se llama comúnmente "contar" es técnicamente establecer una aplicación biyectiva. Si dices que un conjunto \( A \) tiene \( 3 \) elementos estás diciendo que existe una biyección \( f: \{1,2,3\}\longrightarrow A \). ¿Me puedes definir una biyección \( f:\{1,2,3\}\longrightarrow \{1,1,2\} \) (y, ojo, que si me dices que \( f(1)=1 = f(2) \) eso ya no será una aplicación biyectiva).

  • 3) Lo que se llama comúnmente "contar" es técnicamente establecer una aplicación biyectiva. Si dices que un conjunto \( A \) tiene \( 3 \) elementos estás diciendo que existe una biyección \( f: \{1,2,3\}\longrightarrow A \). ¿Me puedes definir una biyección \( f:\{1,2,3\}\longrightarrow \{1,1,2\} \) (y, ojo, que si me dices que \( f(1)=1 = f(2) \) eso ya no será una aplicación biyectiva).

  • 4) Por definición \( \{1,1,2\}=\{x\mid x = 1 \lor x = 1\lor x = 2\} \), y esto es claramente igual a \( \{1,2\}=\{x\mid x = 1\lor x = 2\} \), pues ambos conjuntos tienen los mismos elementos.

  • 5) Mi último argumento te lo planteo como una pregunta: ¿dirías a partir de esta enumeración que te he dado cinco argumentos?


28 Enero, 2019, 12:27 pm
Respuesta #4

feriva

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Hola!

Seguramente esta es una pregunta muy recurrente y, por tanto, respondida, pero no he sido capaz de encontrarla.

Sea por ejemplo \( A=\{1,1,2\} \). ¿Cuál es el cardinal de \( A \)?

Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos \( |A|=3 \). Sin embargo, esto está mal.

Si nos detenemos a ver los elementos de \( A \), observamos que hay dos elementos repetidos, por lo que \( A=\{1,2\} \). Entonces \( |A|=2 \), que es la respuesta correcta, ¿es así?

Gracias!
Saludos

Hola, manooooh.

Así ha sido desde que tengo uso de razón (bueno, mejor vamos a decir desde que me acuerdo :D ).

Sin embargo, la distinta escritura puede ser útil para decir cosas, de ahí, quizá, que se use el signo de equivalencia en vez del de igualdad: \( \{1,1,2\}\equiv\{1,2\}
  \); son representaciones distintas de una misa cosa.

Tiene sentido, del mismo modo que no decimos “sean el racional 4 y el racional \( \dfrac{8}{2}
  \)” (dado que la conjunción no tiene cabida, pues sólo un número) con los conjuntos igual.

Y además no veo que surja ningún problema, podemos tener un conjunto de cardinal cinco tal que éstos sean sus elementos, 1,1,1,1,1; y son todos distintos porque hay un 1 que está más a la izquierda, luego le sigue otro... y así, se pueden distinguir por algo. Un conjunto de equis monedas, con más de una moneda y todas idénticas, es un conjunto de cardinal equis; no todos los elementos son el mismo elemento por mucho que sean idénticos, los elementos no son “números” en sentido de “objetos” o cántidad de símbolos, es otro concepto, es algo así como cuando se habla de “el hombre”, el ser humano en singular.

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Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos \( |A|=3 \). Sin embargo, esto está mal.

Está mal porque en ese caso lees símbolos, no elementos.

Saludos.