Autor Tema: Probar que [texx]100\mid11^{10}-1[/texx]

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08 Febrero, 2019, 03:35 am
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GaToMi

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Hola, tengo el siguiente problema de divisibilidad que no sé como resolver. Si me pudieran dar algún hint o indicación, estaría más que agradecido.

\( \textrm{Probar que }100\mid 11^{10}-1 \)

Ya consideré la factorización de \( 11^{10}-1 \), y se supone que sé teoremas básicos del Máximo común divisor y las propiedades de la divisibilidad.

08 Febrero, 2019, 03:56 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

\( \textrm{Probar que }100\mid 11^{10}-1 \)

Ya consideré la factorización de \( 11^{10}-1 \), y se supone que sé teoremas básicos del Máximo común divisor y las propiedades de la divisibilidad.

Pues yo directamente iría a la definición de divisibilidad y hacer una prueba y error. Pero yo sólo eh.

\( 100 \) divide a \( 11^{10}-1 \) si y sólo si existe un \( k\in\Bbb Z \) tal que

\( 11^{10}-1=100k. \)

Hay que resolver esa ecuación y verificar que efectivamente existe ese número entero.

Quizás haya alguna propiedad que te facilite las cosas.

Saludos

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Título cambiado de "Problema de divisibilidad" a "Probar que [texx]100\mid11^{10}-1[/texx]".
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08 Febrero, 2019, 07:30 am
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

¿Qué tal te llevas con las relaciones de congruencia y con el binomio de Newton?

\( 11^{10} -1=(10+1)^{10} -1\equiv{}\binom{10}{9}\cdot{}10+1-1=...\,(mod 100) \)

Saludos.

08 Febrero, 2019, 09:47 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Otra forma, teniendo en cuenta que:

\(  x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1) \)

\(  11^{10-1}=(11-1)(11^9+11^8+\ldots +11^1+1) \)

 Pero \( (11-1)=10 \) es múltiplo de \( 10 \) y \( 11^9+11^8+\ldots +11^1+1 \) es la suma de diez números acabados en \( 1 \), luego también múltiplo de \( 10 \).

Saludos.

 

08 Febrero, 2019, 02:33 pm
Respuesta #4

GaToMi

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Factorizaba demasiado esa expresión jajaja.
Congruencias aún no lo empiezo a estudiar, sólo me sé la definición. De la misma forma me pasa con el binomio de Newton.
Como siempre, gracias a todos :)

08 Febrero, 2019, 04:37 pm
Respuesta #5

feriva

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Congruencias aún no lo empiezo a estudiar, sólo me sé la definición. De la misma forma me pasa con el binomio de Newton.

Hola.

Sin la teoría del binomio de Newton puedes razonar más o menos parecido usando simplemente la distributiva.

Empiezas por grado 2

\( (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)
  \)

Por la misma mecánica de la propiedad distributiva se ve que van a quedar dos sumandos así \( a^{2}
  \) y \( b^{2}
  \) y, en general para cualquier potencia, quedarán \( a^{n}
  \) y \( b^{n}
  \); y el resto de los sumandos serán múltiplos de ambos, de “a” y de “b”, pues se multiplican siempre uno con otro salvo esos dos casos.

Entonces, por la idempotencia de la unidad, \( (10+1)^{n}
  \) va a ser un múltiplo de 10 más 1.

Por otra parte, ese múltiplo de 10 será mayor en \( (10+1)^{2}
  \) que en \( (10+1)
  \), porque, si no, el valor sería el mismo para ambos, y es absurdo; y lo mismo para las sucesivas potencias, \( (10+1)^{3}>(10+1)^{2}
  \), etc. Por lo cual, el múltiplo de 10 en \( (10+1)^{10}
  \) será al menos tan grande como 100.

GaToMi, si pasas por aquí mira la objeción que me hace Luis: que sea un múltiplo de 10 mayor que 100 no implica que sea divisible entre 100, me despisté, perdona.

Saludos.

11 Febrero, 2019, 09:44 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Por otra parte, ese múltiplo de 10 será mayor en \( (10+1)^{2}
  \) que en \( (10+1)
  \), porque, si no, el valor sería el mismo para ambos, y es absurdo; y lo mismo para las sucesivas potencias, \( (10+1)^{3}>(10+1)^{2}
  \), etc. Por lo cual, el múltiplo de 10 en \( (10+1)^{10}
  \) será al menos tan grande como 100.

No se GaToMi; pero yo ahí no entiendo nada.  ??? ??? En ese razonamiento (sea lo que sea que quiere decir) no parece intervenir que el exponente de \( 11 \) sea precisamente \( 10 \) y no otro. Es decir, ni \( 11^9-1 \)  ni \( 11^{11}-1 \) son múltiplos de \( 100 \); pero \( 11^{10}-1 \) si lo es.

Saludos.

11 Febrero, 2019, 10:03 am
Respuesta #7

feriva

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Hola

No se GaToMi; pero yo ahí no entiendo nada.  ??? ??? En ese razonamiento (sea lo que sea que quiere decir) no parece intervenir que el exponente de \( 11 \) sea precisamente \( 10 \) y no otro. Es decir, ni \( 11^9-1 \)  ni \( 11^{11}-1 \) son múltiplos de \( 100 \); pero \( 11^{10}-1 \) si lo es.

Saludos.

Hola, Luis, buenos días; sí, tienes toda la razón, no está explicado claro. Me explico de otra manera a ver si podría valer.

Parto de que \( (10+1)^{n}=10k+1
  \) para algún “k” entero positivo y distinto de cero. Entonces aquí \( (10+1)=10k+1
  \) se tiene k=1.

Ahora, como \( (10+1)^{2}>(10+1)
  \), si \( (10+1)^{2}=10k+1
  \)con k=1 también, serían iguales, y no puede ser, tiene que ser mayor, con lo que como poco sera k=2. Así, sucesivamente, se deduce que en \( (10+1)^{10}=10k+1
  \) tendrá que ser como poco k=10 para ser mayor que en las anteriores potencias. ¿Es correcto el razonamiento?

Gracias, saludos.

11 Febrero, 2019, 10:09 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Parto de que \( (10+1)^{n}=10k+1
  \) para algún “k” entero positivo y distinto de cero. Entonces aquí \( (10+1)=10k+1
  \) se tiene k=1.

Ahora, como \( (10+1)^{2}>(10+1)
  \), si \( (10+1)^{2}=10k+1
  \)con k=1 también, serían iguales, y no puede ser, tiene que ser mayor, con lo que como poco sera k=2. Así, sucesivamente, se deduce que en \( (10+1)^{10}=10k+1
  \) tendrá que ser como poco k=10 para ser mayor que en las anteriores potencias. ¿Es correcto el razonamiento?

Es insuficiente; lo único que tienes ahí es que \( k\geq 10 \), pero eso no significa que \( k \) sea múltiplo de \( 10 \), es decir, no significa que \( 10k \) sea múltiplo de \( 100 \). Podría ser \( k=1231241 \), por decir algo.

Saludos.

11 Febrero, 2019, 10:34 am
Respuesta #9

feriva

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Hola

Parto de que \( (10+1)^{n}=10k+1
  \) para algún “k” entero positivo y distinto de cero. Entonces aquí \( (10+1)=10k+1
  \) se tiene k=1.

Ahora, como \( (10+1)^{2}>(10+1)
  \), si \( (10+1)^{2}=10k+1
  \)con k=1 también, serían iguales, y no puede ser, tiene que ser mayor, con lo que como poco sera k=2. Así, sucesivamente, se deduce que en \( (10+1)^{10}=10k+1
  \) tendrá que ser como poco k=10 para ser mayor que en las anteriores potencias. ¿Es correcto el razonamiento?

Es insuficiente; lo único que tienes ahí es que \( k\geq 10 \), pero eso no significa que \( k \) sea múltiplo de \( 10 \), es decir, no significa que \( 10k \) sea múltiplo de \( 100 \). Podría ser \( k=1231241 \), por decir algo.

Saludos.


Ah, sí, sí sí sí. Me despisté totalmente, asumí sin pensar despacio que siendo mayor que 10 ya era suficiente, pero no, claro, porque “k” puede ser mayor que 10 pero no divisible entre 10, con lo que 100 no tiene por qué dividir a 10k usando ese argumento.

Gracias.