Autor Tema: Problema sobre congruencia de triángulos

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01 Febrero, 2019, 19:25
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anthropus

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En un triángulo obtusángulo \[ ABC \], obtuso en \[ B \], se traza la ceviana interior \[ BF \], tal que \[ BAC=2BCA \] , \[ FBC=90° \] , \[ AC=24 \] y \[ AB=10 \]. Calcular \[ AF \].


06 Febrero, 2019, 10:09
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En un triángulo obtusángulo \[ ABC \], obtuso en \[ B \], se traza la ceviana interior \[ BF \], tal que \[ BAC=2BCA \] , \[ FBC=90° \] , \[ AC=24 \] y \[ AB=10 \]. Calcular \[ AF \].



 Una forma no muy elegante. En el tríangulo ABC por el teorema de los senos:

\[ \dfrac{10}{sin(\gamma)}=\dfrac{24}{sin(180-3\gamma)} \]

 Teniendo en cuenta que \[ sin(180-3\gamma)=sin(3\gamma)=3sin(\gamma)-4sin^3(\gamma) \] y simplificando se obtiene que:

\[  sin^2(\gamma)=\dfrac{3}{20},\qquad cos^2(\gamma)=\dfrac{17}{20} \]

 Por otra parte en el triángulo \[ AFB \] por el Teorema de los Senos:

\[ \dfrac{10}{sin(90+\gamma)}=\dfrac{AF}{sin(90-3\gamma)} \]

\[ \dfrac{10}{cos(\gamma)}=\dfrac{AF}{cos(3\gamma)} \]   (*)

Usando que:

\[ cos(3\gamma)=4cos^3(\gamma)-3cos(\gamma) \]

Sustituyendo en (*) y utilizando el valor de \[ cos^2(\gamma) \] se concluye que \[ AF=4 \].

Saludos.

08 Febrero, 2019, 14:23
Respuesta #2

anthropus

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Si existe esta propiedad, el problema sale.



12 Febrero, 2019, 07:23
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Si claro. Es mucho más fácil como indicas  :aplauso::



 Los triángulos \[ ABD \], \[ FBD \] y \[ BDC \] son isósceles y por tanto:

\[  CD=DB=DF=DB=AB=10 \]

 y:

 \[ AF=AC-DF-CD=24-10-10=4 \]

Saludos.