Autor Tema: Problema sobre congruencia de triángulos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

01 Febrero, 2019, 11:25 pm
Leído 795 veces

anthropus

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 25
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
En un triángulo obtusángulo \( ABC \), obtuso en \( B \), se traza la ceviana interior \( BF \), tal que \( BAC=2BCA \) , \( FBC=90° \) , \( AC=24 \) y \( AB=10 \). Calcular \( AF \).


06 Febrero, 2019, 02:09 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,087
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

En un triángulo obtusángulo \( ABC \), obtuso en \( B \), se traza la ceviana interior \( BF \), tal que \( BAC=2BCA \) , \( FBC=90° \) , \( AC=24 \) y \( AB=10 \). Calcular \( AF \).



 Una forma no muy elegante. En el tríangulo ABC por el teorema de los senos:

\( \dfrac{10}{sin(\gamma)}=\dfrac{24}{sin(180-3\gamma)} \)

 Teniendo en cuenta que \( sin(180-3\gamma)=sin(3\gamma)=3sin(\gamma)-4sin^3(\gamma) \) y simplificando se obtiene que:

\(  sin^2(\gamma)=\dfrac{3}{20},\qquad cos^2(\gamma)=\dfrac{17}{20} \)

 Por otra parte en el triángulo \( AFB \) por el Teorema de los Senos:

\( \dfrac{10}{sin(90+\gamma)}=\dfrac{AF}{sin(90-3\gamma)} \)

\( \dfrac{10}{cos(\gamma)}=\dfrac{AF}{cos(3\gamma)} \)   (*)

Usando que:

\( cos(3\gamma)=4cos^3(\gamma)-3cos(\gamma) \)

Sustituyendo en (*) y utilizando el valor de \( cos^2(\gamma) \) se concluye que \( AF=4 \).

Saludos.

08 Febrero, 2019, 06:23 pm
Respuesta #2

anthropus

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 25
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si existe esta propiedad, el problema sale.



12 Febrero, 2019, 11:23 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,087
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Si claro. Es mucho más fácil como indicas  :aplauso::



 Los triángulos \( ABD \), \( FBD \) y \( BDC \) son isósceles y por tanto:

\(  CD=DB=DF=DB=AB=10 \)

 y:

 \( AF=AC-DF-CD=24-10-10=4 \)

Saludos.