Un grupo de alumnos se encuentran distribuidos en 6 cursos, de forma que, en cada uno de los 2 últimos hay la mitad de alumnos que en cada uno de los 4 primeros. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger al azar a un alumno éste sea de al menos de cuarto?
Yo he realizado los siguientes cálculos:
Siendo \( X_1 \) = "el alumno es de primer curso", y así análogamente hasta el 6.
Tenemos, por el enunciado, que \( \frac{P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4)}{2} = P(X_5\vee X_6) \)
También sabemos que,
\( 1 = P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4\vee X_5\vee X_6) = P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4) + P(X_5\vee X_6) = \frac{3}{2} · P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4) \)
Luego, \( P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4) = \frac{2}{3} \)
Y suponiendo que todos los cursos son equiprobables, entonces,
\( P(X_i) = \dfrac{1}{6} \) con i=1,2,3,4.
Luego, \( P(X_5\vee X_6) = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) e igual que antes, suponiendo que son equiprobables, \( P(X_i) = \dfrac{1}{6} \) con i = 5,6.
Por lo tanto, a la pregunta sería \( P(X_4\vee X_5\vee X_6) = \frac {1}{2} \)
Pero esto no puede ser ya que no es una respuesta posible (las respuestas posibles son \( \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{4}, \frac{3}{5} \))
¿En que he cometido un error para llegar a una solución errónea?
Un saludo y gracias.
