Autor Tema: Problema de probabilidad

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26 Enero, 2019, 02:02 pm
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Scofield

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Un grupo de alumnos se encuentran distribuidos en 6 cursos, de forma que, en cada uno de los 2 últimos hay la mitad de alumnos que en cada uno de los 4 primeros. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger al azar a un alumno éste sea de al menos de cuarto?

Yo he realizado los siguientes cálculos:

Siendo \(  X_1  \) = "el alumno es de primer curso", y así análogamente hasta el 6.

Tenemos, por el enunciado, que \(  \frac{P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4)}{2} = P(X_5\vee X_6) \)
También sabemos que,
\(  1 = P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4\vee X_5\vee X_6) =  P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4) + P(X_5\vee X_6) = \frac{3}{2} · P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4) \)

Luego, \(  P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4) = \frac{2}{3} \)
Y suponiendo que todos los cursos son equiprobables, entonces,
\(  P(X_i) = \dfrac{1}{6} \) con i=1,2,3,4.

Luego, \(  P(X_5\vee X_6) = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) e igual que antes, suponiendo que son equiprobables, \(  P(X_i) = \dfrac{1}{6} \) con i = 5,6.

Por lo tanto, a la pregunta sería \(  P(X_4\vee X_5\vee X_6) = \frac {1}{2} \)

Pero esto no puede ser ya que no es una respuesta posible (las respuestas posibles son \(  \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{4}, \frac{3}{5} \))

¿En que he cometido un error para llegar a una solución errónea?

Un saludo y gracias.

26 Enero, 2019, 03:04 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Es que la fórmula \( \frac{P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4)}{2} = P(X_5\vee X_6) \) creo que es incorrecta, en cualquier caso deberías justificarla. El enunciado te habla de cantidades, no de probabilidades.

Yo entiendo que lo equiprobable aquí es cada alumno de la escuela, no cada curso (lo que se escoge al azar es un alumno, no un curso), y que cada curso tiene un número finito de alumnos. Con esa interpretación hago lo siguiente: si en cada curso desde primero hasta cuarto hay \( m \) alumnos, entonces el total de alumnos en los seis cursos es \( 4m+2\frac{m}2=5 m \). Ahora bien, la condición "ser al menos de cuarto" significa que el alumno pertenece a cuarto, quinto o sexto... el total de alumnos de estos cursos es \( 2m \), por tanto de la definición de probabilidad frecuentista nos queda que la probabilidad de que sea al menos de cuarto es \( 2/5 \).

27 Enero, 2019, 09:36 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Tenemos, por el enunciado, que \(  \frac{P(X_1\vee X_2\vee X_3\vee X_4)}{2} = P(X_5\vee X_6) \)

Como dice Masacroso eso está mal. Esa igualdad significaría que en el total de las cuatro primeras clases hay el doble de alumnos que en el total de las dos últimas; pero en el enunciado dice que en cada clase de las cuatro primaras hay el doble de alumnos que en cada una de las dos últimas.

Saludos.