Autor Tema: Urna con bolas

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26 Enero, 2019, 02:36 am
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Scofield

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Se tiene una urna llena de bolas con la siguiente composición: 6 ROJAS, 4 VERDES, 5 AZULES. Se extraen sin reemplazamiento 2 bolas.
a) Describe el espacio muestral.
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea azul?
d) Si la segunda bola extraída ha resultado ser azul, que probabilidad hay de que la primera no fuese roja?
e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una bola verde?

He hecho los siguientes cálculos, me gustaría saber si son correctos o, si son erróneos, como se haría bien.

Definimos los siguientes sucesos, R= "la bola extraída es roja", V= "la bola extraída es verde" y A= "la bola extraída es azul".

a) \(  E = \{(R,R),(R,V),(R,A),(V,R),(V,V),(V,A),(A,R),(A,V),(A,A)\} \)

b) \(  P(R\cap{R}) = \dfrac{6}{15} · \dfrac{5}{14} = \dfrac{1}{7} \\ P(V\cap{V}) = \dfrac{4}{15} · \dfrac{3}{14} = \dfrac{2}{35} \\ P(A\cap{A}) = \dfrac{5}{15} · \dfrac{4}{14} = \dfrac{2}{21}   \)
Por tanto, \(  P(R\cap{R}) + P(V\cap{V}) + P(A\cap{A}) = \dfrac{31}{105} \)

c) Haciendo un diagrama de árbol(¿hay otra forma?), los únicos caminos que nos valen son RA, VA y AA, por lo tanto,
\( P(R\cap{A}) + P(V\cap{A}) + P(A\cap{A}) = \dfrac{6}{15} · \dfrac{5}{14} + \dfrac{4}{15} · \dfrac{5}{14} + \dfrac{5}{15} · \dfrac{4}{14} = \dfrac{1}{3}  \)

d) Ni idea.

e) De nuevo, con un diagrama de árbol(hay otra forma también?), los únicos caminos que valen son los que pasan por V, por tanto, RV, V, AV.
\(  P(R\cap{V}) + P(V) + P(A\cap{V}) = \dfrac{6}{15} · \dfrac{4}{14} + \dfrac{4}{15} + \dfrac{5}{15} · \dfrac{4}{14} = \dfrac{10}{21}  \)

Un saludo y gracias!

26 Enero, 2019, 03:09 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Todas las que has hecho estan correctamente resueltas. Para el d) observa que el espacio muestral (conjunto de resultados posibles) ha cambiado, lo constituyen los pares ordenados que tienen como segundo elemento una bola azul, entonces se tienen los siguientes tipos de pares :

(R,A) en número de \( n_1=6(5) \)

(V,A) en número de \( n_2=4(5) \)

(A,A) en número de \( n_3=4(1) \)

El tamaño del espacio muestral será de \( n=n_1+n_2+n_3 \)

Ahora sí, el número de pares con la primera bola no roja (resultados favorables ) \( m=n_2+n_3 \)

La probabilidad será el cociente \( m/n \)

Esta es una forma razonada.

Saludos

26 Enero, 2019, 04:02 am
Respuesta #2

Scofield

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Hola

Todas las que has hecho estan correctamente resueltas. Para el d) observa que el espacio muestral (conjunto de resultados posibles) ha cambiado, lo constituyen los pares ordenados que tienen como segundo elemento una bola azul, entonces se tienen los siguientes tipos de pares :

(R,A) en número de \( n_1=6(5) \)

(V,A) en número de \( n_2=4(5) \)

(A,A) en número de \( n_3=4(1) \)

El tamaño del espacio muestral será de \( n=n_1+n_2+n_3 \)

Ahora sí, el número de pares con la primera bola no roja (resultados favorables ) \( m=n_2+n_3 \)

La probabilidad será el cociente \( m/n \)

Esta es una forma razonada.

Saludos

Según entiendo, tu resultado sería \(  \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \)? (no he entendido muy bien el razonamiento, ni que significan los \(  n_{i} \) y los \( m_{i} \))

Entiendo que los únicos pares con los que partimos son RA,VA y AA, de los cuales solo nos valen VA y AA, por lo tanto había pensado en \(  \frac{2}{3} \), pero no sé si es un razonamiento válido. Tampoco como hacer el camino inverso en un diagrama de árbol.

26 Enero, 2019, 04:21 am
Respuesta #3

delmar

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\( n_1 \) es el número de resultados posibles (pares ordenados) en los cuáles la primera bola es roja y la segunda azul \( (R,A) \), hay 6 rojas y 5 azules, luego \( n_1=6(5)=30 \), de una manera semejante se definen y obtienen \( n_2 \) y \( n_3 \), en consecuencia el total de resultados posibles será : \( n=30+20+4=54 \) cantidad diferente al tamaño del espacio muestral original el cuál era : \( 15(14) \).

El resultado es \( 24/54=4/9 \)

Saludos