Autor Tema: Duda sobre las cotas de los ceros reales de un polinomio

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25 Enero, 2019, 02:07 am
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GaToMi

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Hola, tengo una duda sobre las cotas inferiores de los ceros reales de un polinomio.

Según el libro de precálculo de Stewart,
Si dividimos \( P(x) \) entre \( x - a \) (con \( a<0 \)) usando división sintética y si el renglón que contiene el cociente y residuo tiene entradas que son alternativamente no positivas y no negativas, entonces \( a \) es un limite inferior para los ceros reales de \( P \).

Mi duda es en el siguiente polinomio:

\( P(x)= 3x^{4}-17^{3}+24x^{2}-9x+1 \)

Si comprobamos con \( x-0 \), cumple que las entradas son alternativamente negativas y positivas, pero no se cumple la desigualdad \( a<0 \). La pregunta es, ¿0 es cota inferior de P(x) a pesar de no cumplirse la desigualdad \( a<0 \)?. Y si es cota inferior, ¿es como consecuencia del hecho de que las entradas son alternativamente positivas o negativas en la división, o por otra razón?

Quizás simplemente la razón es que la desigualdad es \( a\leq{0} \) y no \( a<0 \)...

Espero sus respuestas  :laugh:

Saludos.

25 Enero, 2019, 08:40 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 El teorema no funciona en general para \( a=0 \).

 Comprúebalo para \( x^4+2x^2-3 \).

Saludos.

25 Enero, 2019, 03:56 pm
Respuesta #2

GaToMi

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Hola, al comprobarlo con división sintética, las entradas en los renglones, \( 1,  2,  -3 \), y por lo tanto no sería una cota inferior según el teorema.
Entonces, si dividimos P(x) entre \( x−a \) usando división sintética y si el renglón que contiene el cociente y residuo tiene entradas que son alternativamente no positivas y no negativas, ¿podemos asegurar que \( a \) es un límite inferior, aunque no se cumpla que \( a<0 \)?

25 Enero, 2019, 06:22 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola, al comprobarlo con división sintética, las entradas en los renglones, \( 1,  2,  -3 \), y por lo tanto no sería una cota inferior según el teorema.

Olvídalo, me confundí. Pretendía dar un ejemplo donde se cumpliesen las hipótesis del teorema para \( a=0 \), pero las raíces no fuesen no negativas; pero está mal mi ejemplo. De hecho el teorema si es cierto para \( a=0 \) como te indicaré al final.

Pero ojo, porque el teorema no  dice nada sino se cumplen las hipótesis. Es decir si los signos que se obtienen no van cambiando alternativamente, simplemente \( a \) podría ser cota inferior o no.

Citar
Entonces, si dividimos P(x) entre \( x−a \) usando división sintética y si el renglón que contiene el cociente y residuo tiene entradas que son alternativamente no positivas y no negativas, ¿podemos asegurar que \( a \) es un límite inferior, aunque no se cumpla que \( a<0 \)?

Si, el teorema también es cierto para \( a=0 \). Simplemente si en un polinomio \( p(x) \) los coeficientes van cambiando alternativamente de no negativo a no positivo o viceversa, entonces al evaluarlo sobre cualquier número negativo \( x_0 \), todos los términos quedan del mismo signo y por tanto \( x_0 \) no puede ser raíz. Es decir las raíces son necesariamente no negativas.

Saludos.

25 Enero, 2019, 06:58 pm
Respuesta #4

GaToMi

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Aaaa ya entendí :)

Gracias por las respuestas, me quedó más claro.

Saludos y buen día  :laugh: