Autor Tema: Cuantificadores e implicación

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22 Marzo, 2008, 01:58 pm
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paulajouannet

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Agradecería responder este problema.

Sean las proposiciones:
r: \( \forall{x} \)(p(x)\( \Rightarrow{q} \))
s: \( (\forall{x} \)p(x))\( \Rightarrow{q} \)
De las dos implicaciones, (r\( \Rightarrow{s} \)) y (s\( \Rightarrow{r} \)) determinar la que corresponde a una tautología. Justifique su elección.

22 Marzo, 2008, 07:36 pm
Respuesta #1

Ked

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Es fácil entendiendo en lenguaje natural lo que significan r y s.

r: Para todo x vale que si se cumple p(x) entonces se cumple q. Esto quiere decir que si tomamos un x arbitrario, entonces si se cumple p(x) se tiene que cumplir q.

s: Si p(x) se cumple PARA TODO x, entonces se cumple q.

Entendiendo esto deberías poder responderte la pregunta.


Saludos

22 Marzo, 2008, 08:23 pm
Respuesta #2

paulajouannet

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Muchas gracias pro tu respuesta Ked, pero a pesar de que me inclino más por una opción, no estoy segura.
Agradecería otra aclaración.
de antemano muchas gracias

22 Marzo, 2008, 11:38 pm
Respuesta #3

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Paula

A las 10:23 te envié un segundo MP.

22 Marzo, 2008, 11:52 pm
Respuesta #4

Ked

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Muchas gracias pro tu respuesta Ked, pero a pesar de que me inclino más por una opción, no estoy segura.
Agradecería otra aclaración.
La respuesta es que r implica s.

Veamos primero por qué s no implica r. Por ejemplo piensa que x son elementos de un conjunto C formado por números naturales, p(x) = "x es par" y q es "todos los elementos del conjunto C son pares".

Entonces s: \( \forall x\ p(x) \Rightarrow q \) sería "Si para todo elemento x del conjunto C se cumple que x es par, entonces todos los elementos del conjunto C son pares". Está claro que es verdado.

Ahora r: \( \forall x (p(x) \Rightarrow q) \) sería "Para todo elemento x del conjunto C vale que, si x es par, entonces todos los elementos del conjunto C son pares". Esto es obviamente falso, como contraejemplo puedes tomar un conjunto C con solo un número par, y los demás impares.

¿Por qué r implica s?
Porque con r nos alcanza que la propiedad p(x) se cumpla PARA UN SOLO x, y así ya podemos afirmar que se tiene que cumplir q. ¿De acuerdo?

Asumiendo r, y queriendo probar s (o sea queremos probar \( r \Rightarrow s \)), hay que demostrar que si p(x) se cumple para todo x, entonces se cumple q. Por r sabemos que donde p(x) se cumpla para algún x, entonces q se va a cumplir. Pero si p(x) se cumple para todo x (la hipótesis de s), entonces se cumple para alguno en particular, por r eso implica q. Esto hace que \( \forall x \ p(x) \Rightarrow q \) sea correcto.

Notar que todo esto está bastante en el aire, si se quiere probar de una manera realmente formal hay que hacerlo, por ejemplo, construyendo una derivación.


Saludos

23 Marzo, 2008, 06:46 am
Respuesta #5

administrador

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Nombre:     paulajouannet
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Paula

A las 10:23 te envié un segundo MP.