Autor Tema: Hallar el lado de un triángulo

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14 Enero, 2019, 10:57 pm
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anthropus

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En un triángulo isósceles \( ABC\thinspace(AB=BC) \). En \( AB \) y \( BC \), se toman los puntos \( F \) y \( E \) respectivamente de modo que \( CBA + EAC=90° \) y \( EF=FA \). Por \( B \) se traza una perpendicular a \( AB \) que  corta a la prolongación de \( FE \) en \( D \). Calcular \( DB \), si \( BE=5 \) y \( AB=11 \).

15 Enero, 2019, 10:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En un triángulo isósceles \( ABC\thinspace(AB=BC) \). En \( AB \) y \( BC \), se toman los puntos \( F \) y \( E \) respectivamente de modo que \( CBA + EAC=90° \) y \( EF=FA \). Por \( B \) se traza una perpendicular a \( AB \) que  corta a la prolongación de \( FE \) en \( D \). Calcular \( DB \), si \( BE=5 \) y \( AB=11 \).

Llamo \( B \) al ángulo \( CBA \). Observa el dibujo:



Como \( CBA + EAC=90° \) entonces \( EAC=90-CBA=90-B \). Además el ángulo \( FAE=BAC-EAC=(90-B/2)-(90-B)=B/2 \).

Como \( EF=FA \) el triángulo \( EFA \) es isósceles y el ángulo \( AFE=180-2FAE=180-B \).

Entonces \( BFE=180-AFE=B \) y por tanto el triángulo \( BFE \) es isósceles y \( BE=FE=FA \).

Además el ángulo \( EBD=90-B \) y el ángulo \( BDF=90-B \). Luego el triángulo \( BED \) es isósceles y \( DE=BE=FE=FA \).

Finalmente en el triángulo rectángulo \( FBD \):

\( DB=\sqrt{FD^2-BF^2} \)

Donde:

\( BF=AB-AF=11-BE=11-5=6 \)
\( FD=FE+DE=BE+BE=10 \)

Saludos.

15 Enero, 2019, 03:27 pm
Respuesta #2

anthropus

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Muchas gracias Luis Fuentes.  :aplauso: