Autor Tema: Efectos de una homotecia sobre raíces complejas

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13 Enero, 2019, 07:18 pm
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Miguel.Angel

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Hola chic@s,

A ver si me ayudáis a comprender un poco mejor lo siguiente ejercicio de Agregados 1977:

Dada la ecuación \( z^5 - (5+5i)z^4 + 20iz^3 + (20-20i)z^2 - 20z + 2 + 3i \) Dicha ecuación presenta 5 raíces complejas que forman un pentágono regular cuyo centro también lo tengo, \( z_0=1+i \).

Se pide hallar una ecuación de quinto grado con raíces homotéticas a esa ecuación en una homotecia de centro el del pentágono anterior y razón de homotecia 3.

Básicamente partiendo de que \( (z-z_0)^5= W \) da un pentágono desplazado con raíces \( z'_1,z'_2,z'_3,z'_4 y z'_5 \) y centro \( z_0 \) defino 5 nuevas \( z'' \) que gráficamente son afijos desplazados por la razón de homotecia \( r=3 \) en la misma dirección del vector. Es decir, se me genera un pentágono más grande.

Analíticamente: \( (z''_1-z_0)^5=[3(z'_1-z_0)]^5 \) = 3^5 W y de ahí \( [z-(1+i)]^5=3^5(2+i) \) y desarrollándolo obtenemos el polinomio.

Mis preguntas son:

1- Observo que la homotecia se genera multiplicando \( W \) por \( r^n \) ( la razón de homotecia elevada al número de raíces complejas. ¿Es esto así siempre?
2- ¿Puedo razonar que necesito multiplicar por 3 cada uno de los 5 vectores para desplazar los 5 afijos? Intento ver y razonar algo gráficamente.
3- ¿Qué ocurriría si multiplico por otro número cuaquiera? ¿Se modifica el tamaño del pentágono o deformo el pentágono consiguiendo un polígono no regular?

Gracias por vuestra ayuda compañeros.

Un saludo.


14 Enero, 2019, 09:50 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Mis preguntas son:

1- Observo que la homotecia se genera multiplicando \( W \) por \( r^n \) ( la razón de homotecia elevada al número de raíces complejas. ¿Es esto así siempre?

Supongamos como dices que el polígono inicial tiene por ecuación:

\( (z-z_0)^n=W \)     (1)

Por otra parte una homotecia de centro \( z_0 \) y razón \( r \) tiene por ecuaciones:

\( u=z_0+r(z-z_0) \)      (2)

donde llamo \( u \) a la variable tras aplicar la homotecia, de forma que el polinomio transformado del inicial será con variable \( u \).

Despejando en (2):

\( z-z_0=r^{-1}(u-z_0) \)

Sustiyuendo en (1):

\( r^{-n}(u-z_0)=W \)
\( (u-z_0)^n=r^nW \)

Esto responde afirmativamente a tu pregunta.

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2- ¿Puedo razonar que necesito multiplicar por 3 cada uno de los 5 vectores para desplazar los 5 afijos? Intento ver y razonar algo gráficamente.

Poder, puedes. Aunque el razonamiento anterior es suficiente.

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3- ¿Qué ocurriría si multiplico por otro número cuaquiera? ¿Se modifica el tamaño del pentágono o deformo el pentágono consiguiendo un polígono no regular?

Si multiplicas \( W \) por cualquier número \( K \) estás aplicando una homotecia de razón \( K^{1/5} \) y centro \( z_0 \).

Saludos.