Autor Tema: Números primos

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10 Enero, 2019, 10:47
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nathan

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Hola amigos, tengo un ejercicio:
¿Cuántos números que tienen dos factores primos, tienen 4 divisores que suman 48?

Bueno, si los números buscados tienen 2 factores primos su descomposición canónica es de la forma \[ p^{x}q^{y} \]. Pero ahora como manejo eso de que suman 48.
Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

10 Enero, 2019, 12:52
Respuesta #1

zimbawe

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A mi me parece el enunciado algo ambivalente, bueno no ambivalente, sino que admite más de una interpretación.
Porque si tiene exclusivamente cuatro divisores entonces \[ (x+1)(y+1)=4 \] y hay una fórmula para la suma de los divisores (que no sé si la conozcas) que es:
\[ \displaystyle\frac{p^{x+1}-1}{p-1}\displaystyle\frac{q^{y+1}-1}{q-1}=48 \]
Pero de la primera ecuación deduces, que \[ x=1 \] y \[ y=1 \]
En cambio si es que cuatro de sus divisores suman 48, pues el problema se complica más, porque deberás encontrar las cuatrupletas \[ (a, b, c, d)\ in \mathbb{Z} \] tales que cada uno de esos números divide a tu número y \[ a+b+c+d=48 \] espero tu aclaración.

10 Enero, 2019, 12:56
Respuesta #2

feriva

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Hola amigos, tengo un ejercicio:
¿Cuántos números que tienen dos factores primos, tienen 4 divisores que suman 48?

Bueno, si los números buscados tienen 2 factores primos su descomposición canónica es de la forma \[ p^{x}q^{y} \].


Creo que no se refiere a eso. Dos factores son dos factores, dos números (distintos o iguales) dos y no más. Es decir, pienso que se refiere a semiprimos, números del tipo \[ pq \] con “p” y “q” primos. Las suma será 1+(p+q)+pq.


EDITADO; Perdón, que había puesto un 2 de otra cosa que había pensado

Restando el 1, la escribimos así

\[ q+p+qp=47 \]

o sea

\[ q+p(q+1)=47 \]

Y así ahora mismo no sé.

Con lo Wolfram, sólo veo la pareja -5, -13

https://www.wolframalpha.com/input/?i=p%2Bq%2Bpq%3D47

Ah, y 3,11 y 5,7, si no me dejo alguna más


Saludos.

10 Enero, 2019, 13:03
Respuesta #3

zimbawe

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Si, porque en el segundo caso habría infinitos de estos números. Tomar por ejemplo \[ x=2^3*3^n; n\geq{1} \]
Deberás entonces resolver la ecuación \[ (p+1)(q +1)=48 \] si tienes dudas por qué está ecuación,  solo di.

10 Enero, 2019, 13:05
Respuesta #4

zimbawe

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\[ 1+pq+p+q=1+q+pq+p=1+q+p(1+q)=(1+p)(1+q) \]

10 Enero, 2019, 13:47
Respuesta #5

feriva

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\[ 1+pq+p+q=1+q+pq+p=1+q+p(1+q)=(1+p)(1+q) \]

Ya, pero de una forma u otra, ¿cuál sería el método de resolución general? Yo he encontrado tres soluciones con Wolfram, pero no sé qué método general sería; algún teorema habrá que usar, pero no caigo.

Saludos.

10 Enero, 2019, 15:29
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Con lo Wolfram, sólo veo la pareja -5, -13

Pero entiendo que trabajamos sólo con positivos; en otro caso volvemos al lío de tener más de \[ 4 \] divisores.

Las soluciones \[ (p,q) \] de \[ (1+p)(1+q)=48 \] son tantas como divisores de \[ 48 \] ya que dado d divisor de \[ 48 \] tenemos \[ p=d-1 \] y \[ q=\dfrac{48}{d}-1 \].

En nuestro caso sólo nos interesan los casos en los que \[ p,q \] son primos y además nos interesa el producto \[ pq \] que son los números que cumplen la propiedad pedida: por lo que podemos suponer \[ p<q \]. Y así \[ 1+p<1+q \] y \[ 1+p\leq [\sqrt{48}]=6 \]. Las posibilidades son \[ p=2,3,5 \] para las cuales respectivamente \[ q=15,11,7 \]. Nos quedamos con las dos en las que \[ q \] también es primo.

\[ 3\cdot 11=33 \].
\[ 5\cdot 7=35 \].

Saludos.

10 Enero, 2019, 19:51
Respuesta #7

feriva

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Hola

Con lo Wolfram, sólo veo la pareja -5, -13

Pero entiendo que trabajamos sólo con positivos; en otro caso volvemos al lío de tener más de \[ 4 \] divisores.

Las soluciones \[ (p,q) \] de \[ (1+p)(1+q)=48 \] son tantas como divisores de \[ 48 \] ya que dado d divisor de \[ 48 \] tenemos \[ p=d-1 \] y \[ q=\dfrac{48}{d}-1 \].

En nuestro caso sólo nos interesan los casos en los que \[ p,q \] son primos y además nos interesa el producto \[ pq \] que son los números que cumplen la propiedad pedida: por lo que podemos suponer \[ p<q \]. Y así \[ 1+p<1+q \] y \[ 1+p\leq [\sqrt{48}]=6 \]. Las posibilidades son \[ p=2,3,5 \] para las cuales respectivamente \[ q=15,11,7 \]. Nos quedamos con las dos en las que \[ q \] también es primo.

\[ 3\cdot 11=33 \].
\[ 5\cdot 7=35 \].

Saludos.

Ah, cierto, no me había dado cuenta, si se consideran negativos salen más divisores, claro.
Haciendo la cuenta con positivos si me había dado cuenta de que \[ 7*7 \] ya se pasaba, con lo que se podía ir buscando hacia abajo y hacia arriba, pero no tenía una idea muy sistemática sobre cómo hacerlo.

Muchas gracias, Luis, saludos.