Autor Tema: Objeto universal de un funtor es único

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10 Enero, 2019, 02:50 am
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malboro

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Sea \( \mathfrak{C} \) una categoría.
Para cada \( X\in \mathfrak{C} \) definimos \( \mathcal{H}_X:\mathfrak{C}\to \textbf{Set} \) de la siguiente manera:

\( \textbf{En objetos} \): Para cada \( U\in \mathfrak{C} \) tenemos que  \( \mathcal{H}_XU:=Mor_{\mathfrak{C}}(U,X) \)

\( \textbf{En flechas} \): Para cada flecha \( f:U\to V \) en \( \mathfrak{C} \) tenemos que

$$
\begin{array}{rccl}
\mathcal{H}_Xf:\mathcal{H}_XV:=Mor_{\mathfrak{C}}(V,X)&\longrightarrow&\mathcal{H}_XU:=Mor(U,X)\\ g&\mapsto&\mathcal{H}_Xf(g):=g\circ f
\end{array}
$$ 

es una flecha en \( \textbf{Set} \).

Así definido \( \mathcal{H}_X \) es un funtor contravariante.







Definición:

 Un funtor \( \mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set} \)  contravariante es dicho  \( \textbf{representable} \)
 si \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X \)  para algún \( X\in \mathfrak{C} \).

Definición:

 Si  \( \mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set} \) es un funtor  contravariante  entonces un par \( (X,a) \)
 donde  \( X\in \mathfrak{C} \) y \( a\in \mathcal{F}X  \) es un \( \textbf{objeto universal} \) si para
 cada \( U\in \mathfrak{C} \) y para cada \( b\in \mathcal{F}U \) existe una única flecha \( f:U\to X \)
 tal que \( \mathcal{F}f(a)=b \).


Corolario:
Para cada \( A, B\in \mathfrak{C} \) se tiene que \( f:A\to B \) es un
  isomorfismo en \( \mathfrak{C} \) sí y solo si \( \mathcal{H}_A\to \mathcal{H}_B \)
  es un isomorfismo  en
   \( [\mathfrak{C},\textbf{Set}] \).
   
    En otras palabras \( A\cong B \)  sí y solo si \( \mathcal{H}_A\cong \mathcal{H}_B \).


Los objetos universales de un funtor
\( \mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set} \) son únicos salvo isomorfismos. En efecto: Supongamos que un funtor   \( \mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set}  \) es representado por dos objetos universales digamos \( (X,a) \) y \( (Y,b) \) entonces \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X \) y \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_Y \), luego \( \mathcal{H}_X \cong \mathcal{H}_Y \) entonces por el corolario obtenemos que \( X\cong Y \)

Cómo pruebo que \( a=b \) ?



Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

10 Enero, 2019, 12:02 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Te complicas la vida, cuando la teoría de categorías es simplicidad.  ;)

Antes de nada, fíjate que jamás podrás demostrar \( a=b \), porque en general \( a \in F(X), b \in F(Y) \) pero \( F(X) \) y \( F(Y) \) son conjuntos distintos, que bien pueden ser disjuntos. Uno de los principios de teoría de categorías es que normalmente solamente puedes demostrar isomorfismos, y solo muy raramente igualdades. Así que si te estás planteando demostrar una igualdad, deberías pensarlo dos veces.

Vamos al problema. Sea \( F:\mathcal{C} \rightarrow Set \) un funtor contravariante y sea \( (X,a) \) un objeto universal para \( F \).
Queremos ver que dos objetos universales \( (X,a),(Y,b) \) de \( F \) son isomorfos. Lo primero es plantearse qué quiere decir que tales pares sean isomorfos. Claramente, no puede ser solamente que \( X\cong Y \), porque entonces el elemento \( a \in F(X) \) no jugaría ningún papel.
La respuesta es: dos pares \( (X,a),(Y,b) \) son isomorfos si existe un isomorfismo \( f:X \rightarrow Y \) en \( \mathcal{C} \) tal que \( F(f)(b)=a \). Pongo una explicación algo más sofisticada en spoiler.

Spoiler
Dado un funtor (pongamos contravariante) \( F:\mathcal{C} \rightarrow Set \) uno puede definir una nueva categoría \( Elts(F) \), llamada la categoría de los elementos de \( F \), como sigue. Los objetos son pares \( (X,a) \) con \( X \rightarrow \mathcal{C} \) y \( a \in F(X) \). Los morfismos \( (X,a) \rightarrow (Y,b) \) vienen dados por los morfismos \( f:X \rightarrow Y \) en \( \mathcal{C} \) tal que \( F(f)(b)=a \). Las identidades y las composiciones de morfismos se definen de la manera obvia.
Como ejercicio puedes comprobar que un isomorfismo en esta categoría es exactamente lo que he dicho antes.
Como nota, al margen de dar un marco donde interpretar qué significa un isomorfismo de objetos universales, estas categorías juegan un papel muy importante en el estudio de prehaces: por ejemplo, se usan en la demostración de que todo prehaz es colímite de prehaces representables.
[cerrar]

Ahora, para demostrar lo que te piden no hace falta absolutamente nada de funtores representables ni Yoneda ni nada parecido. Solamente hay que tener claro lo que he explicado antes y usar la definición de objeto universal. Este es un argumento muy típico en categorías y en álgebra.

Como \( (X,a) \) es universal para \( F \), existe una única flecha \( f:Y \rightarrow X \) tal que \( F(f)(a)=b \). Como \( (Y,b) \) también es universal, hay una única flecha \( g:X \rightarrow Y \) tal que \( F(g)(b)=a \).
Ahora, tenemos que \( F(fg)(a) = F(g)F(f)(a) = F(g)(b)=a \). Pero la identidad \( id_X:X \rightarrow X \) también cumple que \( F(id_X)(a)=a \). Como \( (X,a) \) es universal, por la unicidad de la definición debemos tener que \( gf = id_X \). De igual manera se comprueba que \( fg = id_Y \). Esto prueba que \( f:X \rightarrow Y \) es un isomorfismo en \( \mathcal{C} \) tal que \( F(f)(b)=a \), como queríamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Enero, 2019, 11:21 pm
Respuesta #2

malboro

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Muchas gracias.
Tienes razón yo leí mal  :-[.
En unas notas que encontré, llaman a X de objeto representante donde (X,a) es objeto universal de un funtor F.
Y afirma que los objetos representantes son únicos, y usa el corolario que escribí.
Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

11 Enero, 2019, 01:03 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Muchas gracias.
Tienes razón yo leí mal  :-[.
En unas notas que encontré, llaman a X de objeto representante donde (X,a) es objeto universal de un funtor F.
Y afirma que los objetos representantes son únicos, y usa el corolario que escribí.

Todo eso es cierto, pero fíjate que es mucho más fácil demostrar directamente a partir de la definición que los objetos universales de \( F \) son únicos, que todo lo que usa para el corolario. Además, la conclusión es más fuerte, porque te dice no solamente que \( X \cong Y \), sino además te dice que son isomorfos via un isomorfismo que envía \( a \) a \( b \).

Un tema diferente es el siguiente teorema (que imagino que las notas que dices prueban antes del corolario): Si existe un objeto universal \( (X,a) \) para \( F \), entonces \( F \)  es representable por \( X \). Es decir, \( F \cong h_X \).
Esto es algo más difícil de demostrar, y usa el lema de Yoneda. De hecho, un muy buen ejercicio en el lema de Yoneda y los objetos universales es demostrar este teorema. Te animo a que lo hagas sin mirar la demostración de las notas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Enero, 2019, 01:14 pm
Respuesta #4

malboro

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Gracias.
No está en esas notas pero yo escribí la prueba, justamente es una caracterización de cuando un funtor es representable.
No usé el Lema de Yoneda.   ???

Puedo colocar la demostración que escribí?

Saludos
Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

12 Enero, 2019, 04:55 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Claro, adelante. Ponla y le echamos un vistazo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Enero, 2019, 05:51 pm
Respuesta #6

malboro

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Hola.
Adjuntaré la prueba.
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12 Enero, 2019, 05:52 pm
Respuesta #7

malboro

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12 Enero, 2019, 07:50 pm
Respuesta #8

malboro

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Espero se pueda descargar.

Gracias
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13 Enero, 2019, 05:25 pm
Respuesta #9

geómetracat

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Hombre, la próxima vez escríbelo en el foro o cuelga un pdf, que partido en capturas cuesta de leer.

La demostración está bien, efectivamente en eso estaba pensando. No usas explícitamente el lema de Yoneda (hay una biyección natural \( Nat(h_X, F) \cong F(X) \)), pero sí usas la forma explícita de tal biyección: si \( (X,a) \) es un objeto universal para \( F \), tomas como isomorfismo natural \( \tau:h_X \Rightarrow F \) el que le corresponde a \( a \in F(X) \) vía el lema de Yoneda, y viceversa, si \( \tau:h_X \Rightarrow F \) es un isomorfismo natural, un objeto universal para \( F \) viene dado por \( (X,a) \) donde \( a \in F(X) \) es el elemento que corresponde a \( \tau \) por el lema de Yoneda (que de hecho es \( a = \tau_X(id_X) \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)