Te complicas la vida, cuando la teoría de categorías es simplicidad.
Antes de nada, fíjate que jamás podrás demostrar \( a=b \), porque en general \( a \in F(X), b \in F(Y) \) pero \( F(X) \) y \( F(Y) \) son conjuntos distintos, que bien pueden ser disjuntos. Uno de los principios de teoría de categorías es que normalmente solamente puedes demostrar isomorfismos, y solo muy raramente igualdades. Así que si te estás planteando demostrar una igualdad, deberías pensarlo dos veces.
Vamos al problema. Sea \( F:\mathcal{C} \rightarrow Set \) un funtor contravariante y sea \( (X,a) \) un objeto universal para \( F \).
Queremos ver que dos objetos universales \( (X,a),(Y,b) \) de \( F \) son isomorfos. Lo primero es plantearse qué quiere decir que tales pares sean isomorfos. Claramente, no puede ser solamente que \( X\cong Y \), porque entonces el elemento \( a \in F(X) \) no jugaría ningún papel.
La respuesta es: dos pares \( (X,a),(Y,b) \) son isomorfos si existe un isomorfismo \( f:X \rightarrow Y \) en \( \mathcal{C} \) tal que \( F(f)(b)=a \). Pongo una explicación algo más sofisticada en spoiler.
Spoiler
Dado un funtor (pongamos contravariante) \( F:\mathcal{C} \rightarrow Set \) uno puede definir una nueva categoría \( Elts(F) \), llamada la categoría de los elementos de \( F \), como sigue. Los objetos son pares \( (X,a) \) con \( X \rightarrow \mathcal{C} \) y \( a \in F(X) \). Los morfismos \( (X,a) \rightarrow (Y,b) \) vienen dados por los morfismos \( f:X \rightarrow Y \) en \( \mathcal{C} \) tal que \( F(f)(b)=a \). Las identidades y las composiciones de morfismos se definen de la manera obvia.
Como ejercicio puedes comprobar que un isomorfismo en esta categoría es exactamente lo que he dicho antes.
Como nota, al margen de dar un marco donde interpretar qué significa un isomorfismo de objetos universales, estas categorías juegan un papel muy importante en el estudio de prehaces: por ejemplo, se usan en la demostración de que todo prehaz es colímite de prehaces representables.
Ahora, para demostrar lo que te piden no hace falta absolutamente nada de funtores representables ni Yoneda ni nada parecido. Solamente hay que tener claro lo que he explicado antes y usar la definición de objeto universal. Este es un argumento muy típico en categorías y en álgebra.
Como \( (X,a) \) es universal para \( F \), existe una única flecha \( f:Y \rightarrow X \) tal que \( F(f)(a)=b \). Como \( (Y,b) \) también es universal, hay una única flecha \( g:X \rightarrow Y \) tal que \( F(g)(b)=a \).
Ahora, tenemos que \( F(fg)(a) = F(g)F(f)(a) = F(g)(b)=a \). Pero la identidad \( id_X:X \rightarrow X \) también cumple que \( F(id_X)(a)=a \). Como \( (X,a) \) es universal, por la unicidad de la definición debemos tener que \( gf = id_X \). De igual manera se comprueba que \( fg = id_Y \). Esto prueba que \( f:X \rightarrow Y \) es un isomorfismo en \( \mathcal{C} \) tal que \( F(f)(b)=a \), como queríamos.
