Autor Tema: Resto de Taylor

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

16 Enero, 2019, 07:44 pm
Leído 357 veces

Bobby Fischer

  • Aprendiz
  • Mensajes: 411
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
    • chess.com
Hola,

Me piden:

Demostrar que si \( f \) es dos veces derivable en \( a \), el resto de Taylor de orden \( 2 \) cumple la condición \( R_2(x)=o(x-a)^2 \) en \( x=a \).

La solución es la siguiente:

\( R_2(x)=f(x)-\Big{[}f(a)-f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\Big{]}; \)

\( R_2(x)=o(x-a)^2\Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{R_2(x)}{(x-a)^2}=0; \)

\( \displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2}{(x-a)^2}\overset{*}{=}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)-f''(a)(x-a)}{2(x-a)}=\\~\\=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)}{x-a}-f''(a)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}f''(a)-f''(a)=0; \)

Sin embargo, cuando lo intenté resolver, hice lo siguiente:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2}{(x-a)^2}=\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}-\dfrac{f'(a)}{(x-a)}-\dfrac{f''(a)}{2}=\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(a)}{(x-a)}-\dfrac{f'(a)}{(x-a)}-\dfrac{f''(a)}{2}=-\dfrac{f''(a)}{2}; \)

He estado intentando ver por qué no puedo hacer eso, pero se me escapa el motivo. Es cierto que se trata de una indeterminación, pero...

16 Enero, 2019, 09:01 pm
Respuesta #1

mathtruco

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,919
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • El gran profesor inspira
Hola Bobby Fischer.

Lo primero que haces me parece correcto (usar dos veces la Regla de L'Hôpital):

\( R_2(x)=f(x)-\Big{[}f(a)-f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\Big{]}; \)

\( R_2(x)=o(x-a)^2\Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{R_2(x)}{(x-a)^2}=0; \)

\( \displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2}{(x-a)^2}\overset{*}{=}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)-f''(a)(x-a)}{2(x-a)}=\\~\\=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)}{x-a}-f''(a)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}f''(a)-f''(a)=0; \)

Pero lo que hiciste después no es correcto, porque sólo puedes separar en suma de límites cuando los límites sumando existen.

16 Enero, 2019, 09:49 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

  • Aprendiz
  • Mensajes: 411
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
    • chess.com
Muchas gracias! Ahora lo he visto claro.

El límite de la suma es la suma de los límites siempre que éstos últimos estén definidos.

Saludos.