Autor Tema: Integral real por teorema de los residuos

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11 Enero, 2019, 18:09
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Eparoh

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Hola, me piden resolver la siguiente integral mediante el teorema de los residuos:

\[ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x\sin(\pi x)}{x^2-5x+6} dx \]

El problema consigo elegir una función o un camino adecuados, pues con lo que he probado, siempre me aparecen dos polos sobre el camino que desearía tomar y no se como tomar un camino para "evitarlos" o en su defecto, una función compleja mejor.
Un saludo y gracias por su ayuda.

11 Enero, 2019, 19:24
Respuesta #1

Abdulai

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Te sugeriría unas simplificaciones previas.

\[ \dfrac{x}{x^2-5x+6}= \dfrac{3}{x-3}-\dfrac{2}{x-2} \]

\[ \therefore\quad\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{x\sin(\pi x)}{x^2-5x+6}\text{dx} = 3 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-3}\text{dx} -2 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-2}\text{dx} \]


Pero como cambiando la variable resulta

\[ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-3}\text{dx}=-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}\text{dx} \]   y   \[ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-2}\text{dx}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}\text{dx} \]


Queda  \[ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{x\sin(\pi x)}{x^2-5x+6}\text{dx}=-5\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}\text{dx} \]     

Y esa integral debe ser el primer ejemplo cuando se enseña residuos en todo el mundo  :)

12 Enero, 2019, 13:50
Respuesta #2

Eparoh

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Muchísimas gracias, era muy simple al final, pero me ofusqué intentandolo de una forma fija en vez de pensar un poquito más.
Y si, efectivamente la ultima integral es el primer ejemplo que estudiamos  :D