Autor Tema: Intento de demostración General UTF n=primo>2

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17 Enero, 2020, 11:57 am
Respuesta #50

Luis Fuentes

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Hola

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Os mando un postrer intento resumido.

1º Obviedades
Los tres números \( m \), \( a \), \( b \), solución de \( m^3=a^3+b^3 \) son diferentes y primos entre si dos a dos si la solución es primitiva, y uno de ellos es par, que será el mayor \( m \), porque si la suma de dos cubos es un cubo también lo es la diferencia de dos cubos, o sea cuando uno de los números \( a \) o \( b \) es negativo.
Los impares son de la forma \( 4k\pm{1} \) y se obtienen por diferencia de cuadrados consecutivos y sus potencias, impares, tienen la misma forma que los impares base. La ecuación indeterminada \( m^3=a^3+b^3 \) con \( m \) par, tiene el primer miembro múltiplo de 4 y solo se puede verificar si los impares \( a \) y \( b \) son de distinta forma porque de lo contrario la suma sería múltiplo de 2 y no de 4.
Si se cumple la ecuación en cuestión será, \( 4\alpha+1+4\beta-1=4p \) de donde \( \alpha+\beta=p \).

2º Deducciones
Las diferencias entre las terceras potencias de los enteros consecutivos son impares que forman una progresión aritmética de diferencia entre términos consecutivos \( d=3.2 \).
Si es \( a>b \) se tiene, \( a^3-b^3=3.2q \) y \( 4(\alpha-\beta)+2=3.2q \), de donde, \( \alpha-\beta=\displaystyle\frac{3}{2}q-\displaystyle\frac{1}{2} \), y se obtiene para
\( \alpha \) y \( \beta \)

\( \alpha=\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{2} \),  \( \beta=-\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \)  (1)

Mirando muy muy a vuelapluma sin entrar a analizar casi nada. ¿Por qué dices que no hay enteros que cumplan esas ecuaciones?. Si que las hay. No hay ningún problema.

Teniendo en cuenta que:

\( p=\alpha+\beta \)

\( q=\dfrac{2\alpha-2\beta+1}{3} \)

Basta que \( 2\alpha-2\beta+1 \) sea múltiplo de \( 3 \).

Saludos.

27 Enero, 2020, 07:30 pm
Respuesta #51

simpleimpar

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Resumo

En la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), \( m \) es par y \( a \) y \( b \) son impares de distinta forma y será \( (4f+1)^3+(4g-1)^3=2^3h^3 \).

Las formas de los impares son invariantes respecto de sus potencias de exponente impar, luego se tendrá,

 \( 4\alpha+1+4\beta-1=4(\alpha+\beta)=2^3h^3 \),   de donde,    \( \alpha+\beta=2h^3 \)

Si la diferencia de dos cubos es un cubo par, será,

 \( 4(\alpha-\beta)+2=2^3k^3 \),   de donde,    \( \alpha-\beta=2h^3-\displaystyle\frac{1}{2} \)

y se obtiene,

 \( \alpha=h^3+k^3-\displaystyle\frac{1}{4}  \)     y    \( \beta=h^3-k^3+\displaystyle\frac{1}{4} \)       (1)

de soluciones posibles,

 \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{4} \),  \( h^3+k^3=\displaystyle\frac{A+1}{4} \)   y   \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \),  \( h^3-k^3=\displaystyle\frac{B-1}{4} \)

Si 4 divide a los enteros A o B no divide a A+1 o B-1 y recíprocamente, luego las ecuaciones (1) no tienen solución en enteros \( \alpha \), \( \beta \), \( h \) y \( k \).

Para \( n \) simple impar, si la suma y diferencia de dos potencias \( n \)-simas de enteros son potencias \( n \)-simas pares de enteros, se tendrá,

 \( \alpha+\beta=2^{n-2}h^n \),   \( \alpha-\beta=2^{n-2}k^n-\displaystyle\frac{1}{2} \) ,  de donde,  \( \alpha=2^{n-3}(h^n+k^n)-\displaystyle\frac{1}{4} \),  \( \beta=2^{n-3}(h^n-k^n+\displaystyle\frac{1}{4} \),

y se tendría,

 \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{a} \),  \( h^n+k^n=\displaystyle\frac{{A+1}}{4} \)   y   \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \),  \( h^n-k^n=\displaystyle\frac{B-1}{4} \)

y 4 sería divisor de A, y A+1 y de B y B+1, lo que es imposible.

En consecuencia, salvo error u omisión, cosa muy probable a juzgar por los antecedentes, si \( n \) es simple impar, la ecuación \( m^n=a^n+b^n  \) no tiene solución en \( m \), \( a \), \( b \), enteros positivos.

Saludos.

27 Enero, 2020, 08:05 pm
Respuesta #52

Luis Fuentes

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Hola

En la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), \( m \) es par y \( a \) y \( b \) son impares de distinta forma y será \( (4f+1)^3+(4g-1)^3=2^3h^3 \).

Las formas de los impares son invariantes respecto de sus potencias de exponente impar, luego se tendrá,

 \( 4\alpha+1+4\beta-1=4(\alpha+\beta)=2^3h^3 \),   de donde,    \( \alpha+\beta=2h^3 \)

Si la diferencia de dos cubos es un cubo par, será,

\( 4(\alpha-\beta)+2=2^3k^3 \),   de donde,    \( \alpha-\beta=2h^3-\displaystyle\frac{1}{2} \)

¿Pero por qué había de ser la diferencia de esos mismos cubos impar?.

Estás analizando \( a^3+b^3=m^3 \) donde el par es \( m \). ¿Por qué de repente y al mismo tiempo lo mezclas con \( a^3-b^3=m'^3 \)?. Lo que pruebas es que no puede darse al mismo tiempo que dos cubos impares sumen y resten un cubo, lo cuál es bastante trivial (no hace falta seguir con lo que pones después: la ecuación en rojo no se da para enteros porque dos términos son múltiplos de \( 4 \) pero el tercero no). Pero eso no prueba que no pueda darse simplemente \( a^3+b^3=m^3 \).

Saludos.

28 Enero, 2020, 10:47 am
Respuesta #53

simpleimpar

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Corrijo errores del ultimo mensaje

línea 14

debe decir \( \beta=2^{n-3}(h^n-k^n)-\displaystyle\frac{1}{4} \),

línea 16

debe decir, \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{4} \), \( h^n+k^n=\displaystyle\frac{A+1}{2^{n-1}} \), \( h^n-k^n=\displaystyle\frac{B-1}{2^{n-1}} \),

Una vez más mis disculpas.

Si se considera el caso de exponente 4 se obtiene, siempre s.e.u.o.

 \( 4(\alpha+\beta)+2=2^4h^4 \) y  \( 4(\alpha-\beta)=2^4k^4 \), de donde,

 \( \alpha+\beta=2^2h^4-\displaystyle\frac{1}{2}  \)   y   \( \alpha-\beta=2^2k^4 \),

y debería ser,

 \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{4} \),  \( h^4+k^4=\displaystyle\frac{A+1}{8} \),   \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \),   \( h^4-k^4=\displaystyle\frac{B+1}{8} \),

igualdades que no son posibles porque 4 no puede dividir a A y A+1 o B y B+1.

Saludos.

28 Enero, 2020, 10:56 am
Respuesta #54

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Hola

He visto la observación de Luís después de enviar mi último mensaje.

Estoy de acuerdo en que he cometido el error de tomar los mismos dos cubos en suma y diferencia.

Saludos.

25 Abril, 2020, 12:27 pm
Respuesta #55

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El caso de exponente \( 3 \) exige que uno de los números solución sea múltiplo de 3, y si se mantiene esta condición entonces los otros dos números no son enteros y por lo tanto la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)no tiene soluciones enteras.
Saludos   

21 Mayo, 2020, 11:05 am
Respuesta #56

Luis Fuentes

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El caso de exponente \( 3 \) exige que uno de los números solución sea múltiplo de 3, y si se mantiene esta condición entonces los otros dos números no son enteros y por lo tanto la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)no tiene soluciones enteras.
Saludos   

He mirado un tanto en diagonal tu documento. Incluso admitiendo que todas las cuentas sean correctas, llegas al final a expresar \( b \) en función de una serie de raíces cuadradas y de ahí afirmas que \( b \) no será entero. ¿Por qué?. Que en la expresión de \( b \) aparezcan raíces no quiere decir que el resultado de estas no pueda ser entero.

Saludos.

26 Mayo, 2020, 09:33 pm
Respuesta #57

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He revisado el archivo último y os envío un nuevo intento corregido en archivo adjunto para el caso de exponente 3.
Si \( m^3=a^3+b^3 \) se cumple,  uno de los números solución es múltiplo de 3 y se debe satisfacer la desigualdad \( a+b>m>a>b \). He probado que estas dos condiciones son incompatibles.
El valor de \( b \)  consignado en el anterior mensaje,

                                   \( b=\frac{3g}{2}\pm{\sqrt[ ]{3}}\sqrt[ ]{\frac{4f^3-g^3}{4g}} \)

no determina de forma explícita \( b \) porque el segundo miembro depende \( b \), no es más que una nueva forma de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \) pero se puede evitar esta situación.
Saludos cordiales

27 Mayo, 2020, 10:18 am
Respuesta #58

Luis Fuentes

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Hola

He revisado el archivo último y os envío un nuevo intento corregido en archivo adjunto para el caso de exponente 3.
Si \( m^3=a^3+b^3 \) se cumple,  uno de los números solución es múltiplo de 3 y se debe satisfacer la desigualdad \( a+b>m>a>b \). He probado que estas dos condiciones son incompatibles.
El valor de \( b \)  consignado en el anterior mensaje,

                                   \( b=\frac{3g}{2}\pm{\sqrt[ ]{3}}\sqrt[ ]{\frac{4f^3-g^3}{4g}} \)

no determina de forma explícita \( b \) porque el segundo miembro depende \( b \), no es más que una nueva forma de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \) pero se puede evitar esta situación.
Saludos cordiales

Está mal. En las ecuaciones que manipulas \( g \) depende de \( b \). Pero tu utilizas el mismo valor de g para las diferentes raíces \( b_1,b_2,b_3 \) de la ecuación de grado \( 3 \) original.

Además en ningún momento usas de manera decisiva que los números implicados son enteros: es señal inequívoca de que tus argumentos tienen que estar mal, porque la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \) si tiene soluciones no enteras.

Saludos.

28 Mayo, 2020, 11:08 am
Respuesta #59

simpleimpar

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Hola Luis

Agradezco tus observaciones. He revisado mi última "aportación" y he he hecho otro intento para el caso de exponente 3. Creo que se puede demostrar que si 3 divide a uno de los números de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), las soluciones no pueden ser primitivas.

Saludos.