Autor Tema: Intento de prueba del UTF por inducción

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29 Diciembre, 2018, 08:15 pm
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simpleimpar

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Hola a todos
Me parece que es posible aplicar el método de inducción para la demostración del teorema último de fermat. De hecho la nota escrita por Fermat al margen de su Aritmética de Diofánto deja entrever dicha posibilidad.
La idea consiste en que se admite como demostrado que la suma de dos cubos de enteros positivos es un número comprendido entre los cubos de dos enteros positivos consecutivos y por tanto la raíz cúbica de esa suma de cubos es un número irracional. Si se admite como hipótesis que la suma de dos potencias de exponente \( n \) natural, de dos enteros naturales está comprendida entre las potencias \( n \)-simas de dos enteros consecutivos, su raíz \( n \)-sima será irracional y también irracional su raíz \( n+1 \)-ésima. Entonces como se cumple la relación

 \( a^{n+1} + b^{n+1} = (a^n + b^n)(a+b)-ab(a^{n-1} + b^{n-1}) \)

 al tomar las raíces de índice \( n+1 \) de esta igualdad, el segundo miembro será un número irracional, porque el irracional \( (a^n +b^n)^{1/(n+1)} \) "contamina de irracionalidad" el número que resulta del desarrollo de ese segundo miembro, de modo que es también irracional el primer miembro, es decir, el número \( (a^{n+1} +b^{n+1})^{1/(n+1)} \) y en consecuencia, si \( a^n + b^n \) no es potencia n-sima de entero positivo, tampoco es \( a^{n+1} + b^{n+1} \) potencia \( n+1 \) de entero positivo. 
  
Ruego me disculpéis esta intromisión. Tengo a disposición del que lo desee un pdf de tres hojas con el desarrollo de este asunto en "simpleimpar@gmail.com".
Saludos cordiales

31 Diciembre, 2018, 11:06 am
Respuesta #1

simpleimpar

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Este es el archivo pdf

01 Enero, 2019, 11:35 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 He separado en un nuevo hilo tu propuesta de demostración, para no mezclar su posible discusión con el tema donde originalmente habías ubicado tus mensajes.

 En cuanto a lo que explicas en el PDF, a vuelapluma y sin entrar en otros detalles, en la página 2 de:

\( (a^{n+1} + b^{n+1})^{1/(n+1)} =((a^n + b^n)(a+b)-ab(a^{n-1} + b^{n-1}))^{1/(n+1)} \)

 deduces que, como \( (a^n + b^n)^{1/(n+1)} \) es irracional se deduce que toda la expresión del segundo miembro es irracional. Eso no tiene porque ser cierto. Es decir en general que \( A^{q} \) sea irracional no significa que \( (A+B)^q \) sea irracional.

 Por ejemplo \( 13^{1/3} \) es irracional pero \( (13+14)^{1/3}=3 \) NO es irracional.

Saludos.

02 Enero, 2019, 12:04 pm
Respuesta #3

simpleimpar

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Muchas gracias Luis.

Es cierto que si la suma de "equis" sumandos es una potencia de base y exponente naturales, su raíz de índice el exponente en cuestión es un entero, y por tanto no irracional, aunque las raíces de ese índice de todos o algunos de los sumandos sean números irracionales.

Es cierto que es erróneo afirmar que \( [(a^n+b^n)(a + b)-ab(a^{n -1}+b^{n -1})]^{n + 1} \) es irracional porque lo es \( (a^n+b^n)^{1/(n+1)} \). Te ruego aceptes mis disculpas por esta imperdonable metedura de pata.
Es cierto que para sostener esa afirmación hay que demostrar que si \( (a^n+b^n)^{1/(n+1)} \), con \( a, b \), y \( n>2  \)números naturales es irracional, entonces \( [(a^n+b^n)(a + b)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})]^{1/(n+1)} \) también lo es.
Esto equivale a demostrar, con \( p \) y \( q \) naturales, que si \( p^{n+1}<a^n+b^n<(p+1)^{n+1} \) entonces \( q^{n+1}<a^{n+1}+b^{n+1}= (a^n+b^n)(a+b)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})<(q+1)^{n+1} \).
O también que los números \( A=(a^n +b^n)(a+b) \) y \( B=-ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \) no suman una potencia de exponen \( n+1  \) y base \( a^{n+1}+b^{n+1} \).

Estoy en ello tras comprobar, que, como no puede ser de otra manera, con números asequibles, se verifican esas relaciones. Esta es la típica tarea de encontrar una demostración general que dé cuenta de todos los casos particulares.
Saludos cordiales. 

Mensaje corregido desde la administración.

02 Enero, 2019, 12:17 pm
Respuesta #4

sugata

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Por favor, usa Látex. Es complicado seguir tus mensajes sin Látex.
A parte de ser las reglas del foro.

02 Enero, 2019, 01:11 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

simpleimpar: como te indica sugata, recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Estoy en ello tras comprobar, que, como no puede ser de otra manera, con números asequibles, se verifican esas relaciones. Esta es la típica tarea de encontrar una demostración general que dé cuenta de todos los casos particulares.

Que con ejemplos concretos se cumplan las relaciones, no dice demasiado sobre si tu intento de demostración tiene visos o no de llegar a buen puerto. Ejemplos concretos también muestran que el Teorema de Fermat es cierto; lo difícil es demostrarlo con toda generalidad.

Saludos.

03 Enero, 2019, 05:24 pm
Respuesta #6

simpleimpar

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Hola
La supuesta solución en enteros positivos de la ecuación \( m^n = a^n + b^n \) si existe, no tiene dos números iguales y supongo \( m>a>b \).
Se tienen las siguientes relaciones:
\( a^{n+1}+b^{n+1}= (a^n+b^n)(a+b)-ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \) y \( a^{n+1}-b^{n+1}= (a^n-b^n)(a+b)-ab(a^{n-1}-b^{n-1}) \)
Despejando a+b de la primera y sustituyendo ab de la segunda se llega a la relación \( ab^n=0 \) de modo que es falso que existe solución en enteros  positivos para la ecuación de Fermat.
Se puede ver esto en el archivo pdf adjunto.
Espero no haber metido la "gamba" y comentarios
Saludos muy cordiales a todos. 

03 Enero, 2019, 05:37 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

La supuesta solución en enteros positivos de la ecuación \( m^n = a^n + b^n \) si existe, no tiene dos números iguales y supongo \( m>a>b \).
Se tienen las siguientes relaciones:
\( a^{n+1}+b^{n+1}= (a^n+b^n)(a+b)-ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \) y \( a^{n+1}-b^{n+1}= (a^n-b^n)(a+b)-ab(a^{n-1}-b^{n-1}) \)
Despejando a+b de la primera y sustituyendo ab de la segunda se llega a la relación \( ab^n=0 \) de modo que es falso que existe solución en enteros  positivos para la ecuación de Fermat.

Dicho con todos los respetos, el argumento es muy ingenuo. No puedes pretender que de dos identidades que son ciertas para cualesquiera \( a,b \) (enteros, racionales reales) se llegue a que necesariamente \( a \) o \( b \) son nulos.

Si uno llega a algo así, lo único que puede hacer es revisar con mucho cuidado donde está el error en las cuentas.

Citar
Se puede ver esto en el archivo pdf adjunto.
Espero no haber metido la "gamba" y comentarios

Cuando despejas \( ab \) en la segunda ecuación el denominador que pones está mal.

Saludos.

03 Enero, 2019, 08:49 pm
Respuesta #8

simpleimpar

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Tiene toda la razón Luis y como me temía he vuelto a errar. De nuevo ruego que aceptéis mis disculpas

23 Enero, 2019, 06:32 pm
Respuesta #9

simpleimpar

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Hola a todos
Por si acaso sirve de algo os envío un pdf con una reflexión sobre el asunto
Saludos

27 Enero, 2019, 07:40 pm
Respuesta #10

simpleimpar

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Hola
Errata descubierta en mi último mensaje por efectos del "copia y pega".
En la línea 7 del archivo que se adjuntaba, donde dice \( a^{k+1}+ b^{k+1} - ab(a^{k-1} +b^{k-1}) \) y debe decir \( (a+b)(c+1)^k  \)\( -ab(a^{k-1} + b^{k-1}) \)
Saludos

17 Octubre, 2019, 08:10 pm
Respuesta #11

simpleimpar

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Hola
A ver que os parece esta nueva ocurrencia

20 Octubre, 2019, 05:41 pm
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

A ver que os parece esta nueva ocurrencia

En primer lugar y a estas alturas sería bueno que escribieses las ideas en el foro y no en PDFs adjuntos. Eso facilita su lectura. Sobre todo cuando, como en este caso, son documentos tan cortitos.

En cuanto a su contenido... pues el razonamiento está mal desde el principio. Pretendes probar el caso \( n=3 \) del UTF con lo siguiente:

Citar
1- Proposición.

Si \( n\geq 2 \) es entero, el número \( (a^3+b^3)^{1/n} \) con \( a \) y \( b \) enteros y positivos, es irracional.
Si fuese \( (a^3+b^3)^{1/n}=p/q \) racional irreducible, los números \( p \) y \( q \) serían primos entre si. Se cumpliría \( a^3+b^3=p^n/q^n \), y como \( a^3 + b^3 \) es entero positivo, \( q^n \) sería divisor de \( p^n \). Ahora bien, si \( p \) y \( q \) son primos entre si, también son primos entre si sus potencias \( n \)-simas y sus razones no pueden ser números enteros. En consecuencia \( (a^3+b^3)^{1/n} \) no puede ser un número racional, y contrariamente a lo supuesto, será irracional.

Por resumir si \( q=1 \), no hay ninguna contradicción y... fin del argumento.

Como comentarios adicionales.

Spoiler
¿No te das cuenta que en lo que has escrito no influye para nada que el exponente sea \( 3 \) ó \( 2 \) (o incluso 1)? Es decir si estuviese bien habrías probado que también es imposible que \( (a^2+b^2)^{1/2} \) sea entero. Pero en ese caso sabemos que si es posible. Así eso debería de hacer saltar todas tus alarmas y darte cuenta de que estas cometiendo algún error gordo.
[cerrar]

Saludos.

20 Octubre, 2019, 10:39 pm
Respuesta #13

simpleimpar

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Hola
1º.- Creo que el caso \( (a^2+b^2)^{1/2} \) de tu spoiler no es considerable, porque lo que se pretende es intentar demostrar que no es entero el número \( (a^3+b^3)^{1/n} \) si \( n>3 \) es entero y \( (a^3 +b^3)^{1/3} \) no es entero.
2º.- El supuesto \( q=1 \) se traduce en la necesidad de demostrar que si \( (a^3+b^3)^{1/3} \) no es entero, tampoco lo es \( (a^3+b^3)^{1/n} \) si \( n \) es entero mayor que 3, que es lo que se pretende en la proposición. Es este un asunto que creo interesante abordar y demostrar.
3º.-Te estoy muy agradecido por tu interés. En lo sucesivo trataré de evitar los PDF anexos.
Saludos cordiales

21 Octubre, 2019, 10:28 am
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

 No me queda claro francamente si has entendido mis críticas.

1º.- Creo que el caso \( (a^2+b^2)^{1/2} \) de tu spoiler no es considerable, porque lo que se pretende es intentar demostrar que no es entero el número \( (a^3+b^3)^{1/n} \) si \( n>3 \) es entero y \( (a^3 +b^3)^{1/3} \) no es entero.

No es considerable porque sabes que en ese caso lo que probaría tu argumento es falso; pero no hay ningún motivo en tu forma de razonar para excluir ese caso, mas que el hecho de que sabes de antemano que ahí no debería de poder aplicarse. De todas formas esto no es imprescindible para que entiendas la crítica esencial.

Citar
2º.- El supuesto \( q=1 \) se traduce en la necesidad de demostrar que si \( (a^3+b^3)^{1/3} \) no es entero, tampoco lo es \( (a^3+b^3)^{1/n} \) si \( n \) es entero mayor que 3, que es lo que se pretende en la proposición. Es este un asunto que creo interesante abordar y demostrar.

De hecho es lo único que interesa demostrar. Que \( (a^3+b^3)^{1/3} \) o más en general que \( (a^n+b^n)^{1/n} \) con \( a,b \) enteros no puede ser un racional no entero es trivial, obvio. Lo dífícil es probar que no es entero. Es decir lo difícil es el caso \( q=1 \) de lo que tu haces; caso que queda al margen de todo lo que has intentado.

No te había comentado nada sobre el resto de tu documento, donde aplicas la inducción, porque ya vi que fallaba incluso el caso "base" de la misma.

Pero ahora le echado un vistazo y allí cometes errores muy muy de bulto.

i) Dices que en una expresión del tipo \( (M+N)^{1/n} \) aparece un factor de la forma \( N^{1/n} \). Eso está mal; no puedes "meter" ese exponente racional dentro del paréntesis.

ii) Peor aún: del hecho de que un factor de una expresión que es un producto o suma sea irracional pretendes deducir que entonces toda la expresión es irracional. Eso es falso. La suma o producto de irracionales puede ser un número entero.

Saludos.

21 Octubre, 2019, 11:52 am
Respuesta #15

feriva

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Hola, simpleimpar. Te muestro otra argumentación similar para que te des cuenta de que tu primera proposición es falsa en general.

Empiezas diciendo

“Si fuese \( (a^{3}+b^{3})^{1/n}=\dfrac{p}{q}
  \) racional irreducible, los números p y q serían primos entre si”.

Hasta aquí, no se dice nada de los elementos encerrados entre paréntesis; es decir, la misma afirmación vale si \( (k)^{1/n}=\dfrac{p}{q}
  \); “k”, donde “k” es algún valor; el paréntesis es una cosa, un número, para hacer esa afirmación lo mismo da poner una letra que dos letras con un signo de suma en medio; y lo mismo da también que pongas potencias o cualquier cosa... porque no se han puesto condiciones ni se ha definido nada sobre eso que encierra el paréntesis (otra cosa distinta es que tú puedas tener en la cabeza algo que no has indicado).

Sigues diciendo

“Si fuese \( (a^{3}+b^{3})^{1/n}=\dfrac{p}{q}
  \) racional irreducible, los números p y q serían primos entre si”.

Una vez más, al menos con lo que dices ahí, no me impides escribir la afirmación así

“Si fuese \( (k)^{1/n}=\dfrac{p}{q}
  \) racional irreducible, los números p y q serían primos entre si”.

Luego, viene esto

“Se cumpliría \( a^{3}+b^{3}=p^{n}/q^{n}
  \), y como \( a^{3}+b^{3}
  \) es entero positivo, \( q^{n}
  \) sería divisor de \( p^{n}
  \)”.

Ahí sí defines algo sobre lo que hay dentro del paréntesis, “k” es un entero positivo; pero no se dice más.

Después sacas la conclusión sin nombrar nada añadido sobre “k”, sigues sin definir nada sobre las condiciones del valor del paréntesis.

Claro que has escrito una suma de potencias, pero eso también lo hace Fermat en el enunciado y no por escribirlo se demuestra nada; hay que analizar las condiciones y cómo podrían influir esas potencias, esos cubos en este caso.

A partir de lo dicho, se demuestra que eso que afirmas es falso con un contraejemplo cualquiera; si k=8 y n=3, tienes \( (8)^{1/3}=2
  \), por ejemplo. O, mejor, escríbelo así, \( (6+2)^{1/3}=2
  \); ahí se ve que lo que en realidad habría que demostrar, previamente, es que no existen números enteros “a,b” tales que cumplan \( a^{3}=6;\, b^{3}=2
  \) (que es un ejemplo particular que sí se ve, pero tendría que ser general) y que a la vez, cuando sí existen, no cumplan que la suma es un cubo entero (cubo en este ejemplo caso particular, digo).

Saludos.

21 Octubre, 2019, 06:29 pm
Respuesta #16

simpleimpar

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Hola Luis

Yo empiezo diciendo lo que sigue:

1.-Proposición
"Si \( n \), mayor o igual que 2, es entero, el número \( (a^3+b^3)^{1/n} \) con a \( a \) y \( b \) enteros y positivos, es irracional."

En consecuencia se sabe desde un principio que los elementos encerrados entre paréntesis son dos cubos de enteros positivos que se suman y que se pretende demostrar una propiedad de la raíz n-sima de tal suma.

A continuación en la "demostración" no utilizo el hecho de que  \( (a^3+b^3)^{1/3} \) es irracional, y mi pretendida "prueba" de la proposición adquiere el carácter de una simple tautología aplicable al caso general, \( (a^p+ b^p)^{1/q} \), con \( p \) y \( q \) enteros positivos mayores que 2.

De nuevo agradezco tus sabias observaciones y trataré de seguirlas dentro de mis modestas capacidades y conocimientos pero con el máximo interés.

Saludos

21 Octubre, 2019, 06:58 pm
Respuesta #17

feriva

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Yo empiezo diciendo lo que sigue:

1.-Proposición
"Si \( n \), mayor o igual que 2, es entero, el número \( (a^3+b^3)^{1/n} \) con a \( a \) y \( b \) enteros y positivos, es irracional."


Ah, perdona, que lo habías entendido, no había leído la respuesta bien.

Spoiler

Pero es igual, también puedes decir que son dos números complejos que suman un entero positivo; existe tal cosa, pero aunque no existiera, da igual, pues lo único que usas es que es un número positivo, utilizas el paréntesis en bloque sin desgranar nada, no importa lo que haya dentro, en el razonamiento no influye. De hecho el razonamiento es falso aunque el teorema sea verdadero; es verdadero porque está demostrado, pero no por ese razonamiento.

Te lo explico de otra manera.

Imagina que ahora mismo llega una persona, sea Pepe, que encuentra un error en la prueba del Teorema. Ya no se sabe si es cierto o falso; y tampoco se sabe si tiene razón Wiles o Pepe, pues podría llegar Juan y quitarle la razón Pepe. Que pase esto es muy difícil, pero no se puede afirmar que sea imposible que pase.

¿Puedes hacer el mismo razonamiento sin conocer el final de la película? Sí, porque las potencias de dos enteros positivos siempre dan un positivo, eso si se sabe. Por tanto, puedes seguir usando el garabato \( (a^{3}+b^{3})
  \) para indicar que es un positivo. Y como en el transcurso de la demostración no sacas de dentro del paréntesis nada, pues también puedes usar cualquier otro garabato mientras digas que eso es algún número positivo.

Si lo haces, encuentras muchos ejemplos donde la cosa funciona, como en el ejemplo que ponía con el garabato igual a 8 y “n=3”.

¿Le dirías a Pepe que no tiene razón, se lo dirías a Wiles o, por el contrario, no podrías afirmar nada seguro?

Lo “malo” de este problema, es que ya se sabe el final, y eso lleva con frecuencia a cometer errores lógicos que no se comenten en otros problemas en los que no se sabe si la conjetura es cierta o falsa.
[cerrar]

Saludos.

21 Octubre, 2019, 10:01 pm
Respuesta #18

simpleimpar

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Hola Feriva

Perdona, creo que te he confundido con Luis.
Saludos

21 Octubre, 2019, 10:09 pm
Respuesta #19

feriva

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Hola Feriva

Perdona, creo que te he confundido con Luis.
Saludos

Sí, me he dado cuenta después; pues ya nos hemos confundido los dos :)

Saludos.