Autor Tema: Diferencial de una normal

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30 Diciembre, 2018, 08:23 pm
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Julio_fmat

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Sea \[ S \] la superficie parametrizada por \[ \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \] donde \[ -1<u<1 \] y \[ -1<v<1. \] Calcular \[ dN_p(\varphi_u) \]. ¿Cuál es el valor de \[ dN_p (v) \] en un vector tangente \[ v \] arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :).
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

02 Enero, 2019, 07:05 pm
Respuesta #1

Julio_fmat

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Hola, alguien sabe que me pueda ayudar ???. Muchas Gracias.
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02 Enero, 2019, 07:12 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Sea \[ S \] la superficie parametrizada por \[ \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \] donde \[ -1<u<1 \] y \[ -1<v<1. \] Calcular \[ dN_p(\varphi_u) \]. ¿Cuál es el valor de \[ dN_p (v) \] en un vector tangente \[ v \] arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :).

Es recomendable que muestres tus esfuerzos para indicarte mejor cómo solucionar el problema.

¿Qué representa \[ p \] y \[ dN_p(\varphi_u) \]? \[ N \] pareciera ser un plano pero como la función no es un campo escalar resulta difícil imaginarse gráficamente qué está ocurriendo.

Además \[ \varphi_u \] no tiene sentido pues las derivadas parciales de \[ \varphi \] forman una matriz, la matriz jacobiana de \[ \varphi \]. Si se pide una derivada, ¿cuál, \[ \varphi_{uu} \] o \[ \varphi_{uv} \]?

Feliz Año

03 Enero, 2019, 02:58 am
Respuesta #3

Julio_fmat

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Hola

Sea \[ S \] la superficie parametrizada por \[ \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \] donde \[ -1<u<1 \] y \[ -1<v<1. \] Calcular \[ dN_p(\varphi_u) \]. ¿Cuál es el valor de \[ dN_p (v) \] en un vector tangente \[ v \] arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :).

Es recomendable que muestres tus esfuerzos para indicarte mejor cómo solucionar el problema.

¿Qué representa \[ p \] y \[ dN_p(\varphi_u) \]? \[ N \] pareciera ser un plano pero como la función no es un campo escalar resulta difícil imaginarse gráficamente qué está ocurriendo.

Además \[ \varphi_u \] no tiene sentido pues las derivadas parciales de \[ \varphi \] forman una matriz, la matriz jacobiana de \[ \varphi \]. Si se pide una derivada, ¿cuál, \[ \varphi_{uu} \] o \[ \varphi_{uv} \]?

Feliz Año

Muchas Gracias, pero sabes que la pauta dice que la solucion es \[ dN_p(\varphi_u)=\dfrac{1}{5}\varphi_u. \]

El punto \[ p\in S \] es un punto de la superficie regular. Tengo escrito en mi cuaderno lo siguiente. Sea \[ \varphi: U\to S \] una carta local y sea \[ w\in T_p S \]. Se define \[ dN_p (w)=\lambda(p) w \].
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03 Enero, 2019, 06:05 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

El punto \[ p\in S \] es un punto de la superficie regular. Tengo escrito en mi cuaderno lo siguiente. Sea \[ \varphi: U\to S \] una carta local y sea \[ w\in T_p S \]. Se define \[ dN_p (w)=\lambda(p) w \].

Eso sólo es cierto si \[ w \] es una dirección principal en el punto \[ p \].

Se tiene que \[ dN_p(\varphi_u)=N_u(p) \], es decir, la parcial respecto de \[ u \] del normal \[ N(u,v) \].

Para hallar \[ N(u,v) \] haz:

\[ N(u,v)=\dfrac{\varphi_u\times \varphi_v}{\|\varphi_u\times \varphi_v\|} \]

siendo \[ \varphi_u,\varphi_v \] las parciales de:

\[ \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \]

Saludos.

03 Enero, 2019, 06:11 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola

(...)

siendo \[ \varphi_u,\varphi_v \] las parciales de:

\[ \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \]

\[ \vec\varphi(u,v)=(\varphi_1,\varphi_2) \]. Si se pide \[ \varphi_u \], ¿a quién hace referencia, a \[ \varphi_{1_u} \] o \[ \varphi_{2_u} \]? Las derivadas primeras son cuatro, a diferencia del campo escalar que son dos, donde sí tiene sentido (para mí) hablar de \[ \varphi_u \] o \[ \varphi_v \].

Saludos

03 Enero, 2019, 06:22 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

\[ \vec\varphi(u,v)=(\varphi_1,\varphi_2) \]. Si se pide \[ \varphi_u \], ¿a quién hace referencia, a \[ \varphi_{1_u} \] o \[ \varphi_{2_u} \]? Las derivadas primeras son cuatro, a diferencia del campo escalar que son dos, donde sí tiene sentido (para mí) hablar de \[ \varphi_u \] o \[ \varphi_v \].

En realidad \[ \varphi \] va de un abierto de \[ \mathbb{R}^2 \] en \[ \mathbb{R}^3 \] así que en todo casó será:

\[ \varphi(u,v)=(\varphi_1(u,v),\varphi_2(u,v),\varphi_3(u,v)) \]

Ahora \[ \varphi_u \] es un vector: tendrá tres componentes:

\[ \varphi_u=((\varphi_1)_u,(\varphi_2)_u,(\varphi_3)_u) \]

Por ejemplo en nuestro caso:

\[ \varphi_u=\left(1,1,\dfrac{v-2u}{\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}\right) \]

Saludos.

06 Enero, 2019, 07:42 am
Respuesta #7

Julio_fmat

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Muchas Gracias el_manco.  :aplauso:

Me queda que la normal en \[ (u,v) \] es \[ N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right) \].

Entonces, \[ dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right) \].

¿Esta bien?

Creo que hay otra forma de sacarlo... \[ dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v) \]. Se deben conocer los valores de \[ a \] y \[ b \] respectivamente.
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08 Enero, 2019, 07:01 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias el_manco.  :aplauso:

Me queda que la normal en \[ (u,v) \] es \[ N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right) \].

Está mal. Revisa las cuentas. Queda:

\[ N(u,v)=\dfrac{-1}{5}(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \]

Citar
Entonces, \[ dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right) \].

¿Esta bien?

Si, pero con la expresión correcta de \[ N \].

Citar
Creo que hay otra forma de sacarlo... \[ dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v) \]. Se deben conocer los valores de \[ a \] y \[ b \] respectivamente.

No estoy seguro de a que te refieres.

Saludos.

19 Febrero, 2019, 11:02 pm
Respuesta #9

Julio_fmat

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Hola

Muchas Gracias el_manco.  :aplauso:

Me queda que la normal en \[ (u,v) \] es \[ N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right) \].

Está mal. Revisa las cuentas. Queda:

\[ N(u,v)=\dfrac{-1}{5}(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \]

Citar
Entonces, \[ dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right) \].

¿Esta bien?

Si, pero con la expresión correcta de \[ N \].

Citar
Creo que hay otra forma de sacarlo... \[ dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v) \]. Se deben conocer los valores de \[ a \] y \[ b \] respectivamente.

No estoy seguro de a que te refieres.

Saludos.

Muchas Gracias, ya noté mi error... El vector normal queda \[ N(u,v)=-\dfrac{1}{5}\left(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}\right) \]. Por lo tanto, lo pedido es \[ dN_p(\varphi_u)=N_u=-\dfrac{1}{5}\varphi_u=-\dfrac{1}{5}\left(1,1,\dfrac{v-2u}{\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}\right) \].

¿Esta bien?
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20 Febrero, 2019, 05:38 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

 Bien.

Saludos.