Autor Tema: Diferencial de una normal

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31 Diciembre, 2018, 12:23 am
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Julio_fmat

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Sea \( S \) la superficie parametrizada por \( \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \) donde \( -1<u<1 \) y \( -1<v<1. \) Calcular \( dN_p(\varphi_u) \). ¿Cuál es el valor de \( dN_p (v) \) en un vector tangente \( v \) arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :).
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

02 Enero, 2019, 11:05 pm
Respuesta #1

Julio_fmat

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Hola, alguien sabe que me pueda ayudar ???. Muchas Gracias.
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02 Enero, 2019, 11:12 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Sea \( S \) la superficie parametrizada por \( \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \) donde \( -1<u<1 \) y \( -1<v<1. \) Calcular \( dN_p(\varphi_u) \). ¿Cuál es el valor de \( dN_p (v) \) en un vector tangente \( v \) arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :).

Es recomendable que muestres tus esfuerzos para indicarte mejor cómo solucionar el problema.

¿Qué representa \( p \) y \( dN_p(\varphi_u) \)? \( N \) pareciera ser un plano pero como la función no es un campo escalar resulta difícil imaginarse gráficamente qué está ocurriendo.

Además \( \varphi_u \) no tiene sentido pues las derivadas parciales de \( \varphi \) forman una matriz, la matriz jacobiana de \( \varphi \). Si se pide una derivada, ¿cuál, \( \varphi_{uu} \) o \( \varphi_{uv} \)?

Feliz Año

03 Enero, 2019, 06:58 am
Respuesta #3

Julio_fmat

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Hola

Sea \( S \) la superficie parametrizada por \( \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \) donde \( -1<u<1 \) y \( -1<v<1. \) Calcular \( dN_p(\varphi_u) \). ¿Cuál es el valor de \( dN_p (v) \) en un vector tangente \( v \) arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :).

Es recomendable que muestres tus esfuerzos para indicarte mejor cómo solucionar el problema.

¿Qué representa \( p \) y \( dN_p(\varphi_u) \)? \( N \) pareciera ser un plano pero como la función no es un campo escalar resulta difícil imaginarse gráficamente qué está ocurriendo.

Además \( \varphi_u \) no tiene sentido pues las derivadas parciales de \( \varphi \) forman una matriz, la matriz jacobiana de \( \varphi \). Si se pide una derivada, ¿cuál, \( \varphi_{uu} \) o \( \varphi_{uv} \)?

Feliz Año

Muchas Gracias, pero sabes que la pauta dice que la solucion es \( dN_p(\varphi_u)=\dfrac{1}{5}\varphi_u. \)

El punto \( p\in S \) es un punto de la superficie regular. Tengo escrito en mi cuaderno lo siguiente. Sea \( \varphi: U\to S \) una carta local y sea \( w\in T_p S \). Se define \( dN_p (w)=\lambda(p) w \).
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03 Enero, 2019, 10:05 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

El punto \( p\in S \) es un punto de la superficie regular. Tengo escrito en mi cuaderno lo siguiente. Sea \( \varphi: U\to S \) una carta local y sea \( w\in T_p S \). Se define \( dN_p (w)=\lambda(p) w \).

Eso sólo es cierto si \( w \) es una dirección principal en el punto \( p \).

Se tiene que \( dN_p(\varphi_u)=N_u(p) \), es decir, la parcial respecto de \( u \) del normal \( N(u,v) \).

Para hallar \( N(u,v) \) haz:

\( N(u,v)=\dfrac{\varphi_u\times \varphi_v}{\|\varphi_u\times \varphi_v\|} \)

siendo \( \varphi_u,\varphi_v \) las parciales de:

\( \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \)

Saludos.

03 Enero, 2019, 10:11 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola

(...)

siendo \( \varphi_u,\varphi_v \) las parciales de:

\( \varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \)

\( \vec\varphi(u,v)=(\varphi_1,\varphi_2) \). Si se pide \( \varphi_u \), ¿a quién hace referencia, a \( \varphi_{1_u} \) o \( \varphi_{2_u} \)? Las derivadas primeras son cuatro, a diferencia del campo escalar que son dos, donde sí tiene sentido (para mí) hablar de \( \varphi_u \) o \( \varphi_v \).

Saludos

03 Enero, 2019, 10:22 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

\( \vec\varphi(u,v)=(\varphi_1,\varphi_2) \). Si se pide \( \varphi_u \), ¿a quién hace referencia, a \( \varphi_{1_u} \) o \( \varphi_{2_u} \)? Las derivadas primeras son cuatro, a diferencia del campo escalar que son dos, donde sí tiene sentido (para mí) hablar de \( \varphi_u \) o \( \varphi_v \).

En realidad \( \varphi \) va de un abierto de \( \mathbb{R}^2 \) en \( \mathbb{R}^3 \) así que en todo casó será:

\( \varphi(u,v)=(\varphi_1(u,v),\varphi_2(u,v),\varphi_3(u,v)) \)

Ahora \( \varphi_u \) es un vector: tendrá tres componentes:

\( \varphi_u=((\varphi_1)_u,(\varphi_2)_u,(\varphi_3)_u) \)

Por ejemplo en nuestro caso:

\( \varphi_u=\left(1,1,\dfrac{v-2u}{\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}\right) \)

Saludos.

06 Enero, 2019, 11:42 am
Respuesta #7

Julio_fmat

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Muchas Gracias el_manco.  :aplauso:

Me queda que la normal en \( (u,v) \) es \( N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right) \).

Entonces, \( dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right) \).

¿Esta bien?

Creo que hay otra forma de sacarlo... \( dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v) \). Se deben conocer los valores de \( a \) y \( b \) respectivamente.
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08 Enero, 2019, 11:01 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias el_manco.  :aplauso:

Me queda que la normal en \( (u,v) \) es \( N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right) \).

Está mal. Revisa las cuentas. Queda:

\( N(u,v)=\dfrac{-1}{5}(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \)

Citar
Entonces, \( dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right) \).

¿Esta bien?

Si, pero con la expresión correcta de \( N \).

Citar
Creo que hay otra forma de sacarlo... \( dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v) \). Se deben conocer los valores de \( a \) y \( b \) respectivamente.

No estoy seguro de a que te refieres.

Saludos.

20 Febrero, 2019, 03:02 am
Respuesta #9

Julio_fmat

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Hola

Muchas Gracias el_manco.  :aplauso:

Me queda que la normal en \( (u,v) \) es \( N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right) \).

Está mal. Revisa las cuentas. Queda:

\( N(u,v)=\dfrac{-1}{5}(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}) \)

Citar
Entonces, \( dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right) \).

¿Esta bien?

Si, pero con la expresión correcta de \( N \).

Citar
Creo que hay otra forma de sacarlo... \( dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v) \). Se deben conocer los valores de \( a \) y \( b \) respectivamente.

No estoy seguro de a que te refieres.

Saludos.

Muchas Gracias, ya noté mi error... El vector normal queda \( N(u,v)=-\dfrac{1}{5}\left(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}\right) \). Por lo tanto, lo pedido es \( dN_p(\varphi_u)=N_u=-\dfrac{1}{5}\varphi_u=-\dfrac{1}{5}\left(1,1,\dfrac{v-2u}{\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}\right) \).

¿Esta bien?
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20 Febrero, 2019, 09:38 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

 Bien.

Saludos.