Autor Tema: Curvatura Gaussiana

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07 Enero, 2019, 01:24 am
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Julio_fmat

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Sea \[ \varphi(u,v)=(u,v,h(u,v)) \] una parametrizacion de la grafica \[ \Gamma_h \] de \[ h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}. \] Demuestra que la curvatura Gaussiana se puede expresar como \[ K(u,v)=\dfrac{\text{det}(\text{Hess}(h))}{(1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2)^2} \], donde \[ \text{Hess}(h) \] es la matriz Hessiana.

Hola. Sabemos que la curvatura Gaussiana tiene la forma \[ K(p)=k_1(p)k_2(p) \], donde \[ k_1,k_2 \] son las curvaturas principales. O bien, \[ K=\dfrac{eg-f^2}{EG-F^2}. \] No se cual de las formulas usar...
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

15 Enero, 2019, 12:33 am
Respuesta #1

Julio_fmat

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Hola, con la ayuda de un libro logre llegar a lo siguiente:

Sabemos que \[ e=\left<{N,\varphi_{uu}}\right>=\dfrac{1}{\sqrt{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}}\dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1^2} \], \[ f=\left<{N,\varphi_{uv}}\right>=\dfrac{1}{\sqrt{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}}\dfrac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2} \], \[ g=\left<{N,\varphi_{vv}}\right>=\dfrac{1}{\sqrt{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}}\dfrac{\partial^2 h}{\partial x_2^2} \]. Ahora reemplazamos y nos queda

\[ K(u,v)=\dfrac{eg-f^2}{EG-F^2}=\dfrac{\dfrac{1}{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}\left(\dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1^2}\dfrac{\partial^2 h}
{\partial x_2^2} - \left( \dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1\partial x_2}\right)^2\right)}{(\varphi_u\cdot \varphi_u)(\varphi_v\cdot \varphi_v)- (\varphi_u\cdot \varphi_v)^2} \].

En el denominador deberia ir \[ \left(1+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_2}\right)^2+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_1}\right)^2
\right)^2 \] (no se me ocurre como sacarlo...), lo que equivale a \[ (1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2)^2 \].

¿Esta bien mi intento?
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15 Enero, 2019, 07:03 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola, con la ayuda de un libro logre llegar a lo siguiente:

Sabemos que \[ e=\left<{N,\varphi_{uu}}\right>=\dfrac{1}{\sqrt{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}}\dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1^2} \], \[ f=\left<{N,\varphi_{uv}}\right>=\dfrac{1}{\sqrt{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}}\dfrac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2} \], \[ g=\left<{N,\varphi_{vv}}\right>=\dfrac{1}{\sqrt{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}}\dfrac{\partial^2 h}{\partial x_2^2} \]. Ahora reemplazamos y nos queda

\[ K(u,v)=\dfrac{eg-f^2}{EG-F^2}=\dfrac{\dfrac{1}{1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2}\left(\dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1^2}\dfrac{\partial^2 h}
{\partial x_2^2} - \left( \dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1\partial x_2}\right)^2\right)}{(\varphi_u\cdot \varphi_u)(\varphi_v\cdot \varphi_v)- (\varphi_u\cdot \varphi_v)^2} \].

En el denominador deberia ir \[ \left(1+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_2}\right)^2+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_1}\right)^2
\right)^2 \] (no se me ocurre como sacarlo...), lo que equivale a \[ (1+ \left\|{\nabla h}\right\|^2)^2 \].

¿Esta bien mi intento?

Está bien y ya lo tienes prácticamente.

El determinante del Hessiano es precisamente: \[ \left(\dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1^2}\dfrac{\partial^2 h}
{\partial x_2^2} - \left( \dfrac{\partial^2 h}{\partial x_1\partial x_2}\right)^2\right) \].

En cuanto al denominador:

\[ \varphi_u=\left(1,0,\dfrac{\partial h}{\partial x_1}\right) \]
\[ \varphi_v=\left(0,1,\dfrac{\partial h}{\partial x_2}\right) \]

de donde:

\[ (\varphi_u,\varphi_u)=1+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_1}\right)^2 \]
\[ (\varphi_v,\varphi_v)=1+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_2}\right)^2 \]
\[ (\varphi_u,\varphi_v)=\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_1}\right)\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_2}\right) \]

De forma que:

\[ (\varphi_u,\varphi_u)(\varphi_v,\varphi_v)-(\varphi_u,\varphi_v)^2=1+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_2}\right)^2+\left(\dfrac{\partial h}{\partial x_1}\right)^2=1+\|\nabla h\|^2 \]

Saludos.

19 Febrero, 2019, 11:37 pm
Respuesta #3

Julio_fmat

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Muchas Gracias, me salio. Me preguntaba si hay otra forma de llegar a lo mismo, no me convencen los coeficientes de la segunda forma fundamental.
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20 Febrero, 2019, 04:40 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias, me salio. Me preguntaba si hay otra forma de llegar a lo mismo, no me convencen los coeficientes de la segunda forma fundamental.

No te entiendo. ¿Exactamente qué no te convence y por qué?-

Saludos.