Autor Tema: Raíces de la unidad real

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Diciembre, 2018, 01:53 am
Leído 988 veces

rojamer

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 12
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sean \( n\in{\mathbb{Z^{+}}}, \) \( u_n=\displaystyle\frac{1-(-1)^n}{2}, \) \( v_n=\displaystyle\frac{n-u_n}{2} \) y \( (a+bi)^{n}=1, \) con \( a,b\in{\mathbb{R}}, \) entonces:

\( \begin{cases}\displaystyle\sum_{k=0}^{v_n}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k}a^{n-2k}b^{2k}}=1\\\displaystyle\sum_{k=0}^{v_{n-1}}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k+1}a^{n-(2k+1)}b^{2k+1}}=0\end{cases} \)

Es decir:

  • \( a\neq{0}. \)
  • Si \( b\neq{0,} \) entonces:
    \( a^{n}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{v_n}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{2k}}} \)
    , donde,
    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{v_{n-1}}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k+1}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{2k}}=0\\ \)
    , o, \( b=0  \) si y sólo si \( a^n=1. \)

28 Diciembre, 2018, 09:22 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,993
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Si; las expresiones se deducen desarrollando el binomio en la igualdad \( (a+bi)^{n}=1 \) y separando parte real e imaginaria.

Saludos.