Hola,
Supongo que \( z^4=x^4+y^4 \) , para \( x,y,z \) enteros, coprimos dos a dos; \( x\,\vee\,y \) , par.
Por tanto: \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \) y sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán:
\( z^2=p^2+q^2 \) ; \( x^2=2pq \) ; \( y^2=p^2-q^2 \) ; para \( p,q \) coprimos, uno de ellos par.
Sabemos entonces que: \( z^2=x^2+y^2-d \) ; para un “ \( d \) “ entero menor que el menor de los valores de " \( x^2,y^2 \) " . Luego: \( d=x^2+y^2-z^2 \) \( \Rightarrow \) \( d=2pq+p^2-q^2-p^2-q^2\,=\,2q(p-q) \) . Como: \( y^2=p^2-q^2\,=\,(p+q)\,(p-q) \) e “ \( y^2 \) “ es impar; entonces “ \( p+q \) “ -y- “ \( p-q \) “ , que son coprimos; serán cuadrados. Por otra parte, si: \( x^2=2pq \) -y- “ \( q \) “ es par; entonces “ \( p \) “ -y- “ \( 2q \) “ , serán también cuadrados. De esta forma: \( d=2q(p-q) \) será un cuadrado -y-: \( d=d’^2 \) .
Si “ \( 3 \) “ no dividiera a ninguna de las variables de: \( z^4=x^4+y^4 \) . Módulo 3, tendríamos: \( 1=1+1 \) ; puesto que sólo " \( 1 \) " es el residuo cuadrático de 3 (si excluimos al 0). Como no puede ser; sabemos que “ \( 3 \) “ divide a una de estas tres variables. En concreto á “ \( x \) “ ó á “ \( y \) “ . Pues si dividiera á “ \( z \) “ ; tendríamos que módulo 3: \( 0=1+1 \) . Lo que tampoco puede ser.
Como: \( z^2=p^2+q^2 \) -y- \( 3\nmid z \) ; entonces, módulo 3: \( 1=1+0 \) -ó- \( 1=0+1 \) . Es decir, que “ \( 3 \) “ debe dividir á “ \( q^2 \) “ -ó- “ \( p^2 \) “ y tampoco “ \( y^2 \) “ \( =p^2-q^2 \) podrá ser por tanto múltiplo de 3. En concreto debe dividir á “ \( q^2 \) “ ; puesto que: \( p^2=z^2-q^2 \) \( \wedge \) \( p^2=y^2+q^2 \) -y- módulo 3: \( 1=1-0 \) \( \wedge \) \( 1=1+0 \) ; no lo contrario.
Tenemos por lo tanto que en el caso del UTF4, “ \( 3 \) “ dividirá siempre al término “par”; al que en este caso hemos caracterizado como “ \( x \) “.
Pero ocurre como hemos visto al principio que: \( z^2=x^2+y^2-d’^2 \) . Y módulo 3: \( 1=0+1-1 \) . Lo que no puede ser. Siendo esto una contradicción.
Un saludo,
